76. Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями

Теорема 1. Пусть a И b Две плоскости, заданные своими общими уравнениями в аффинной системе координат:

A: A1X + B1Y + C1Z + D1 = 0,

B: A2X + B2Y + C2Z + D2 = 0,

A12 + B12+ C12 ≠ 0, A22 + B22+ C22 ≠ 0;

.

Тогда справедливы утверждения:

4) Плоскости A и b Пересекаются тогда и только тогда, когда

Rang A = rang A¢ = 2;

5) Плоскости A и b Параллельны тогда и только тогда, когда

Rang A = 1, rang A¢ = 2;

6) Плоскости A и b Совпадают тогда и только тогда, когда

Rang A = Rang A¢ = 1.

Доказательство. Рассмотрим систему линейных уравнений:

(1)

Применим к исследованию системы (1) теорему Кронекера-Капелли.

Рассмотрим матрицу и расширенную матрицы системы (1):

.

Так как матрица А ненулевая, то rang A ³ 1. Имеем rang A¢ = rang A¢¢, rang A £ rang A¢ £ 2. Тогда возможны следующие случаи:

1) rang A = rang A¢ = 2. По теореме Кронекера - Капелли система (1) разрешима и плоскости a и b имеют общие точки. Так как при решении системы (1) методом Гаусса число свободных неизвестных равно 1, а не двум, то не все решения системы (1) являются решениями первого уравнения системы и плоскости a и b не совпадают. Следовательно, плоскости a и b Пересекаются.

2) rang A = 1, rang A¢ = 2. Тогда система (1) не имеет решений, и плоскости a и b не имеют общих точек, а поэтому Параллельны.

6) rang A = rang A¢ = 1. Тогда при приведении системы (1) к ступенчатому виду в системе останется одно из уравнений исходной системы, и система равносильна одному из уравнений системы (1). Следовательно, множество решений системы (1) совпадает с множеством решений одного из уравнений системы (1) и плоскости a и b Совпадают.

Обратные утверждения легко доказываются методом от противного. Пусть плоскости пересекаются. Докажем, что rang A = rang A¢ = 2. Допустим противное. Тогда rang A = 1, rang A¢ = 2 или rang A = rang A¢ = 1. Отсюда, по доказанному выше, a || b или a = b. Получаем противоречие с условием. Следовательно, допущение неверно и rang A = rang A¢ = 2. Аналогично рассматриваются случаи a || b или a = b.

Нетрудно проверить, что ранг двухстрочной матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда ее строки пропорциональны (проверьте самостоятельно). Тогда из теоремы 1 получаем следующее следствие.

Следствие. 1) Плоскости A и b Пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей непропорциональны:

(2)

2) Плоскости A и b Параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и не пропорциональны свободным членам:

. (3)

3) Плоскости A И b Совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих неизвестных в уравнениях плоскостей пропорциональны и пропорциональны свободным членам:

. (4)

Замечание 1. Совпадающие плоскости в некоторых случаях считаются также и параллельными, и в этом случае Условие параллельности плоскостей может быть записано в виде:

.

< Предыдущая		Следующая >