57. Различные уравнения прямой

1. Уравнения прямой в аффинной системе координат. Пусть на плоскости задана аффинная система координат (O,E1,E2) .

Определение 1. Направляющим вектором прямой A Называется ненулевой вектор S параллельный прямой А.

Пусть S = (M,L), - направляющий вектор прямой А, M0(X0,Y0)- точка, принадлежащая прямой А. Пусть M(X,Y), произвольная точка плоскости

.

Тогда точка M принадлежит прямой А тогда и только тогда, когда векторы , S коллинеарны. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю.

Таким образом, получаем Уравнение прямой, проходящей через точку M0(X0,Y0), параллельной вектору S = (M,L):

. (1)

Это уравнение можно переписать в виде:

. (2)

Уравнение (2) называется Каноническим уравнением прямой. Заметим, что если знаменатель в каноническом уравнении равен нулю, то и соответствующий числитель равен нулю.

Пусть M1(X1,Y1) и M2(X2,Y2) - две различные точки, принадлежащие прямой А. В качестве направляющего вектора прямой А возьмем вектор . Тогда по формуле (2) получаем Уравнение прямой, проходящей через две точки:

. (3)

Пример 1. Найдем уравнение прямой с направляющими векторами S = (B,-A), где A ≠ 0 или B ≠ 0. По формуле (1) находим уравнение этой плоскости:

.

Отсюда получаем уравнение

. (4)

Рассмотрим радиус вектора RO = и R =. Точка M принадлежит прямой А тогда и только тогда, когда векторы = R - RO и S коллинеарны. Так как вектор S ненулевой, то последнее равносильно тому, что вектор R - RO линейно выражается через вектор S, т. е.

R - RO = TS,

Где T - действительное число.

Отсюда получаем так называемое Векторно-параметрическое уравнение Плоскости:

R = RO + TS, (5)

Где U, V - произвольныq действительный параметр.

Так как R == (X,Y), RO = = (X0,Y0), то запишем это уравнение в координатной форме. Получим Параметрические уравнения прямой Прямой А:

(6)

Где T - произвольный действительный параметр, S = (M,L) - направляющий вектор прямой А, M0(X0,Y0) - точка, принадлежащая прямой А.

Найдем уравнение прямой, которая не проходит через начало координат и пересекает координатные оси в точках M1(A,0) и M2(0,B). По формуле (3) находим уравнение этой прямой:

.

Преобразуем полученное уравнение к более простому виду

(X - a)B + Ya = 0,

Xb+ Ya = Abc,

. (7)

Уравнение (5) называется Уравнением плоскости в отрезках на осях.

< Предыдущая		Следующая >