Вариант контрольной 04
Вариант 4
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат. 
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:
Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке 
, а точке 
. Поэтому:
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах
Решение: 
Задача 7.. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:
; 
Решение.
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение.
Имеем верхнюю часть двуполостного гиперболоида, т. е. тело с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:
. По оси OZ тело ограничено
Значит, объем тела:
Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:
Площадь эллипса:
.
Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OХ.
Решение: Найдем точки пересечения графиков функций
Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: дуга окружности радиусом 
, стягивающая центральный угол 
.
Решение: Дуга окружности радиусом в параметрической форме записывается:
Задача 13. Вычислить момент инерции треугольника с основанием 
и высотой 
относительно его основания.
Решение: Расположим ось OX по основанию треугольника.
Тогда: 
, а стороны треугольника запишутся в виде:
Момент инерции треугольника с основанием 
и высотой 
относительно его основания, т. е. относительно оси OX:
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
А)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
. Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл расходится.
Б)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и 
При 
. Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл расходится.
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции:
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
.
Оценим подынтегральную функцию при 
:
Следовательно:
Поскольку интеграл 
расходится, то по признаку сравнения расходится исходный несобственный интеграл.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
