Вариант № 17

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След. вектор .

Задача 2 Найти угол между единичными векторами , если векторы Взаимно перпендикулярны.

Пусть - искомый угол между векторами ; по усл-ю задачи , т. е.

.

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Найти координаты вектора , если он коллинеарен вектору , образует тупой угол с осью

И

Так как вектор , то его координаты можно записать в виде: ;

По условию задачи вектор образует тупой угол с осью , след., , т. е. ;

Рассм. ; но ; .

Задача 5 Найти момент силы , приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Определить из условия, что площадь параллелограмма, построенного на векторах равна

Площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна модулю векторного произведения этих векторов ; рассм.

;

По условию .

Задача 7 При каком значении точки будут лежать в одной плоскости?

Точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны

(т. е. их смешанное произведение ); рассм. ;

;

Задача 8 В треугольнике известны координаты вершин: .

Составить уравнение высоты и определить острый угол между этой высотой и стороной

1)составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. и рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. ; ;

2) определим острый угол между прямыми по ф-ле: , где , а ; .

Задача 9 Составить уравнения сторон ромба и найти его площадь, если известны уравнения сторон и координаты вершины

1) Составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно прямой

;

2) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно прямой

;

3) определим площадь ромба :

Определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

Определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

Рассм. векторы: ; рассм. векторное произведение

Площадь ромба равна: .

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

Пусть - искомая плоскость;

Рассм. направл. вектор оси ; рассм. вектор ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 11 Через точку провести прямую , параллельную двум плоскостям: .

Рассм. норм. векторы ;

Рассм. направл. вектор прямой : ;

Рассм. ; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Составить уравнение высоты, опущенной из вершины треугольной пирамиды на основание , если

Рассм. векторы ; рассм. векторное произв-е

; рассм. ;

Вектор перпендикулярен плоскости основания , след. его можно взять в качестве направл. вектора искомой высоты пирамиды ; составим теперь уравнение высоты Как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору : .

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

;

2) Разложение по 1-й строке:

.

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След. матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2 )получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ; вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр.

Находим теперь вектор-решение :

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера-Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

общее решение данной системы ур-й:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор-столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения

Рассм.

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

В) рассм.

рассм. пусть , тогда вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .