Вариант № 12

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След. вектор .

Задача 2 Дано: Найти

.

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Рассм. векторы ;;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Определить, при каком векторы будут взаимно перпендикулярными.

; рассм. ; ; след. При .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Вычислить синус угла между векторами .

Величину определим из равенства ;

Вычислим ;

.

Задача 7 Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассмотрим векторы и рассмотрим смешанное произведение , след., векторы Не компланарны и, след., точки не лежат в одной плоскости.

Задача 8 Определить острый угол между высотой и медианой треугольника , проведёнными из вершины , если координаты вершин известны .

Рассмотрим один из направляющих векторов медианы ;

Рассм. И рассм. один из направляющих векторов высоты : (т. к. );

Определим угол между векторами из равенства: ;

Вычислим

; искомый острый угол между прямыми Равен .

Задача 9 Найти площадь ромба и координаты его вершин, если одна из его сторон и одна из диагоналей лежат, соответственно на прямых , а длина диагонали равна Сколько решений имеет задача?

Пусть - вершина ромба, лежащая на пересечении прямых ; ;

Возможны два положения противоположной вершины ромба: (так как длина диагонали равна 12);

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке их пересечения делятся пополам, след., возможные положения центра симметрии ромба суть (середина отрезка ) и (середина отрезка ), а диагонали перпендикулярны прямой , т. е. параллельны оси ;

Уравнения диагоналей

Координаты вершин определим как координаты точек пересечения прямой с диагоналями :

Координаты вершин определим из условия, что т. - середина отрезка , а т. - середина отрезка :

;

;

Площади ромбов равны:

Задача имеет два решения.

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно прямой

Пусть - искомая плоскость; рассм. вектор ;

Рассм. направл. вектор прямой ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. норм. вектор ; рассм. произв. т.

И рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 11 Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; и рассм. направл. вектор прямой : ; рассм. ;

Определим какую-либо точку ;

Рассм. Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Найти проекцию точки на прямую , заданную как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Рассм. плоскость , проходящую через точку перпендикулярно прямой : ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е.

Найдём теперь искомую проекцию точки на прямую как точку пересечения плоскости и прямой : ;

.

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

;

2) Разложение по 1-й строке:

.

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение :

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим Свободными переменными и выпишем общее решение системы в координатной форме:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор - столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

- собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

Рассм. пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ; пусть , тогда вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .