01.19. Действия с подпространствами

Пусть L1 и L2 – подпространства пространства V.

L = L1 + L2 Û L º {X | X=X1 + X2, X1ÎL1, X2ÎL2}

N = L1∩L2 Û N º {X | XÎL1 Ù XÎL2}

= L1∩L2 Û º {X | XÎL1 Ú XÎL2}.

Отметим, что теоретико-множественное объединение подпрост-ранств подпространством, вообще говоря, не является. Рисунок иллюстрирует, что сумма векторов из L1 + L2 не всегда принадлежит L1 + L2 .

30°. L = L1 + L2 и N = L1∩L2, где L1 и L2 – подпространства также являются подпростран-

Ствами.

◀ В доказательстве элементы подпространств L1 и L2 будем снабжать соответствующими индексами.

1) L = L1 + L2: "X, YÎL X + Y = (X1 + X2) + ( Y1 + Y2 )= (X1 + Y1) +(X2 + Y2);

xÎL: aX = a(X1 + X2) = aX1 +aX2; qL = = qV ; (–Х)=(–Х)1+(–Х)2 .

2) N = L1∩L2 : ; . ▶

31°. Формула Грасмана dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 – dimL1∩L2.

◀ Пусть dimL1∩L2 = K, dimL1 = K + L1, dimL2 = K + L2. Докажем, что dim(L1 + L2) = K + L1 + L2.

Пусть базис в L1∩L2. Дополним его до базиса L1: и до базиса L2: . Покажем, что , базис в L1 + L2. Полнота:

X = X1 + X2 = = .

Линейная независимость (от противного).

Пусть a1E1 + … + aKek + b1F1 + … + + g1G1 + … + = q;

Из последнего равенства следует, что векторы стоящие в его левой и правой частях принадлежат L1∩L2 . Тогда УÎL1∩L2 можно записать в виде: Y = d1E1 + … + dKek. Сравнивая Y = a1E1 + … + aKek + b1F1 + … + с Y = d1E1 +… + dKek, в силу единственности разложения У, заключаем, что a1 = d1, a2 = d2, …, aK = dK; b1 = b2 = … = Подставляя bI= 0 в (*) получаем a1E1 + … + aKek + g1G1 + …+ = q и, в силу линейной независимости векторов E1, Е2, …, Ek, G1, G2,…, получаем: a1 = a2 =… = aK = g1 =… = = 0. ▶

< Предыдущая		Следующая >