05. Методы построения функций принадлежности

В основании всякой теории из любой области естествознания лежит очень важное, основополагающее для ее построения понятие элементарного объекта. Например, для механики – это материальная точка, для электродинамики – вектор напряженности поля. Для теории нечетких множеств основополагающим понятием является понятие нечеткого множества, которое характеризуется и определяется функцией принадлежности. Посредством нечетких множеств можно строго описывать присущие природе расплывчатые, не точно заданные объекты, без формализации которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моделировании интеллектуальных процессов. Однако основной проблемой, затрудняющей интенсивное применение теории нечетких множеств при решении практических задач, является то, что функция принадлежности должна быть задана вне самой теории и, следовательно, ее адекватность не может быть проверена средствами теории. В каждом известном методе построения функции принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого ее построения.

Л. Заде предложил оценивать степень принадлежности числами из отрезка . Фиксирование конкретных значений при этом носит субъективный характер. С одной стороны, для экспертных методов важным является характер измерений (первичные или производные) и тип шкалы, в которой получают информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид операций, применяемых при экспертной оценке. С другой стороны, каждому объекту присущи два типа его свойств: те, которые можно непосредственно измерить, и те, которые являются качественными и требуют попарного сравнения объектов, обладающих оцениваемым свойством, чтобы определить их место по отношению к рассматриваемому понятию.

Существует ряд методов построения функции принадлежности нечеткого множества по экспертным оценкам, которые можно разделить на две группы: прямые и косвенные методы.

Прямые методы определяются тем, что эксперт или группа экспертов непосредственно задают правила определения значений функции принадлежности, характеризующей данное понятие. При этом, чем в большей степени элемент обладает рассматриваемым свойством, тем более близким к единице должно быть значение функции принадлежности. И наоборот, чем в меньшей степени элемент обладает рассматриваемым свойством, тем ближе к нулю должно быть это значение. Если элемент Определенно не обладает рассматриваемым свойством, то соответствующее значение функции принадлежности равно нулю. Если же элемент Определенно Обладает рассматриваемым свойством, то это значение равно единице. Кроме того, значения функции принадлежности согласуются с экспертными предпочтениями на множестве объектов следующим образом:

– для любых , тогда и только тогда, когда предпочтительнее , т. е. в большей степени обладает свойством ;

– для любых , тогда и только тогда, когда и в равной мере обладают свойством .

Примеры прямых методов: непосредственное задание функции принадлежности таблицей, формулой, перечислением. Заде обосновывает назначение прямого метода следующим образом: «По своей природе оценка является приближением. Во многих случаях достаточна весьма приблизительная характеризация набора данных, поскольку в большинстве основных задач, решаемых человеком, не требуется высокая точность. Человеческий мозг использует допустимость такой неточности, кодируя информацию, достаточную для решения задачи, элементами нечетких множеств, которые приближенно описывают исходные данные. Поток информации, поступающий в мозг через органы зрения, слуха, осязания и др., суживается, таким образом, в тонкую струйку информации, необходимой для решения поставленной задачи с допустимой степенью точности».

Процесс построения или задания нечеткого множества на основе количественных значений измеряемого признака получил специальное название – Фаззификация, или приведение к нечеткости. Речь идет о том, что даже если исследователю бывает известно некоторое значение измеряемой величины, следует иметь в виду, что это значение известно неточно, возможно с погрешностью или случайной ошибкой. При этом, чем меньшей является уверенность в точности измерения признака, тем большим будет интервал носителя соответствующего нечеткого множества. Именно по этой причине фаззификация позволяет более адекватно представить объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.

В Косвенных методах значения функции принадлежности выбираются таким образом, чтобы удовлетворять заранее сформулированным условиям. Экспертная информация формирует только исходные данные для дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки. Примерами дополнительных условий могут служить следующие: функция принадлежности должна отражать близость к заранее выделенному эталону; объекты множества являются точками в некотором параметрическом пространстве; результатом процедуры обработки должна быть функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интервальной шкалы; при попарном сравнении объектов, если один объект по какой-то характеристике оценивается в раз сильнее, чем другой, то второй объект обязательно оценивается в раз сильнее, чем первый, и т. д.

Как правило, прямые методы используются для описания понятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, такими, как высота, рост, вес, объем. В этом случае, в предположении, что в процессе измерений не делается случайных ошибок, удобно и естественно непосредственное задание значений степени принадлежности.

Однако реально ошибки всегда имеются. Кроме того, могут быть искажения, например, субъективная тенденция сдвигать количественные оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непосредственном определении функции принадлежности, могут использоваться только в том случае, когда такие ошибки незначительны или маловероятны.

Косвенные методы основаны на более пессимистических представлениях о людях как об «измерительных приборах». Рассмотрим, например, понятие «КРАСОТА», которое, в отличие от понятий «ДЛИНА» или «ВЫСОТА», является сложным и трудно формализуемым. Практически не существует универсальных элементарных измеримых свойств, через которые определяются подобные понятия. В таких случаях используются только ранговые измерения при попарном сравнении объектов. Косвенные методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество – в стойкости по отношению к искажениям в измерениях. Для косвенных методов обычно используется условие «безоговорочного экстремума»: при определении степени принадлежности множество исследуемых объектов должно содержать по крайней мере два объекта, численные представления которых на интервале принимают значения 0 и 1 соответственно.

Среди косвенных методов наибольшее применение получил так называемый метод попарных сравнений. Этот метод используется для конечных нечетких множеств и основан на естественном предположении, что непосредственное оценивание значений функции принадлежности в точках , затруднительно, однако попарное их сравнение в разных точках носителя проблем не вызывает. Пусть по результатам экспертного оценивания построена матрица , каждый элемент которой оценивает величину отношения соответствующих неизвестных значений функции принадлежности, то есть

, . (1.28)

Поставим задачу отыскания неизвестного набора значений,.

Из соотношения (1.28) имеем

, , , (1.29)

И, кроме того,

, . (1.30)

Из (1.29)–(1.30) следует, что матрица , составленная по правилу (1.28), является обратносимметричной и обладает транзитивностью. Такую матрицу будем называть согласованной.

Далее, из (1.28) получим , ,

Откуда, суммируя слева и справа по , имеем

,

То есть

. (1.31)

Совокупность соотношений (1.31) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных значений функции принадлежности в точках , . Эта система в матричной форме имеет вид

, (1.32)

Где .

Отсюда следует, что для обратносимметричной согласованной матрицы имеется собственное число, равное , и соответствующий этому числу положительный собственный вектор , компонентами которого является искомый набор значений функции принадлежности. Таким образом, полученное соотношение устанавливает связь между матрицей попарных сравнений значений функции принадлежности и самими этими значениями. Понятно, что если задана матрица , то неизвестный вектор может быть получен путем расчета с использованием (1.32) собственного вектора этой матрицы, соответствующего собственному числу, равному . Этот результат лежит в основе предложенного Т. Саати [22] метода анализа иерархий. Вместе с тем, как легко показать [21], искомый вектор может быть получен и гораздо более простым способом. В целях упрощения записи введем следующие обозначения:

, , .

Тогда в соответствии с (1.28) матрица имеет вид

.

Вычислим суммы элементов для каждой из строк матрицы . Для произвольной -й строки имеем

, . (1.33)

Из соотношения (1.33) следует, что каждый компонент собственного вектора с точностью до константы может быть рассчитан непосредственно по элементам матрицы . Константу определим исходя из естественного требования к нормировке вектора , в соответствии с которым введем условие

. (1.34)

Просуммируем левую и правую части соотношения (1.33) по . При этом с учетом (1.34) получим

.

Тогда

. (1.35)

Таким образом, соотношение (1.35) позволяет рассчитать значения функции принадлежности, соответствующие каждому из элементов носителя. При этом понятно, что нечеткое множество, описываемое полученной функцией принадлежности, не является нормальным. Приведение множества к нормальному осуществляется стандартным образом по формуле

,

Отметим, что соотношение (1.35) позволит точно оценить значения компонентов функции принадлежности только в случае, если матрица является обратносимметричной и согласованной. Однако на практике эта матрица, содержащая результаты попарных сравнений значений функции принадлежности, формируемых экспертами, является обратносимметричной, но не удовлетворяет (1.30). В связи с этим вектор, определяемый в соответствии с (1.35), оценивает компоненты этой функции с погрешностью тем большей, чем сильнее реальная матрица отличает-

Ся от требуемой.

Легко проверить, что получаемый в соответствии с (1.35) вектор является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу, равному . Действительно, вычислим:

Что и требовалось.

Рассмотрим процедуру [21] коррекции реальной матрицы, приближающую эту матрицу к согласованной.

Используя реальную матрицу , введем матрицу

,

То есть

. (1.36)

Убедимся в том, что диагональные элементы этой матрицы равны единице. Действительно,

.

Теперь, продолжая процедуру, вычислим

, (1.37)

Получаемая при этом матрица будет более согласованной, нежели исходная. Продолжим операцию корректировки. При этом фактическая вычислительная процедура на каждой итерации коррекции может быть упрощена за счет объединения соотношений (1.36), (1.37).

При этом

,

Пусть проделано итераций коррекции, в результате которых получена матрица . Тогда на очередной -й итерации выполняются следующие вычисления:

, , (1.38)

Соотношения (1.38) позволяют рассчитать элементы матрицы непосредственно через элементы матрицы . Сходимость предложенной процедуры проверена экспериментально.

Полученная в результате коррекции согласованная матрица попарных сравнений используется далее для расчета в соответствии с (1.35) искомых значений функции принадлежности.

Пример 1.8. Зададим нечеткое множество ,

Пусть по результатам экспертного оценивания получена матрица

.

Матрица представляет собой матрицу попарных сравнений значений функции принадлежности.

Эта матрица обратносимметрична, но не транзитивна. Например,. Действительно, .

В связи с этим непосредственное использование матрицы для оценивания значений функции принадлежности невозможно.

Проведем процедуру коррекции.

Первая итерация

В соответствии с (1.38) вычислим:

.

Эта матрица существенно более согласована, нежели исходная. В самом деле, для той же тройки элементов имеем

.

Выполним еще одну итерацию коррекции, в результате которой получим

.

Эта матрица практически согласована. В частности, .

Процедура коррекции завершена. Теперь, используя полученную матрицу, в соответствии с (1.35) рассчитаем значения функции принадлежности в точках . При этом

Далее, после нормализации окончательно имеем описание нечеткого множества

Контрольные вопросы

1. Что такое нечеткое множество и каковы основные способы его задания?

2. Каковы основные характеристики нечетких множеств?

3. Проведите сравнительный анализ основных форм задания функций принадлежности.

4. В каких случаях для построения функций принадлежности используются прямые и косвенные методы?

5. В чем положительные особенности прямых и косвенных методов?

< Предыдущая		Следующая >