69. Теорема о соответствии границ при конформном отображении

Опр: Пусть - область с границей и - конформное отображение на область . Пусть . В общем случае . Рассмотрим всевозможные последовательности такие, что . Пусть - множество всех таких последовательностей в области . Тогда множество называется Предельным множеством (Cluster Set) функции в граничной точке . - одноточечное множество тогда и только тогда, когда .

Пример:

Утверждение:

Доказательство: Очевидно, что . Пусть , следовательно . Так как - конформное, то - конформное и . В силу непрерывности в из следует, что , то есть . Это противоречит тому, что . Следовательно . Утверждение доказано.

Теоремка (без доказательства): Если - жордановы области и - конформное отображение, то : является одноточечным, то есть , и является гомеоморфизмом границ, сохраняющим направление обхода.

Яндекс.Метрика