34. Теорема Морера

Теорема: Пусть - непрерывная функция в области , тогда, если для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой выполняется равенство , то аналитична в .

Доказательство: Пусть есть треугольник . Тогда для любого треугольника имеет место равенство , а значит функция обладает свойством треугольника (см. параграф 22) и, по утверждению из параграфа 22 эта функция локально имеет первообразную в области . По определению первообразной -окрестность, в которой и, значит, функция является аналитической в окрестности по теореме о бесконечной дифференцируемости аналитической функции . В силу произвольности функция является аналитической на всей .

Теорема доказана.

Яндекс.Метрика