36.1. Основные понятия математической статистики
Выборочным методом называют метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку. Генеральной совокупностью называется множество однородных объектов, из которого выделяется некоторое подмножество, называемое выборочной совокупностью или выборкой. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число ее объекте®. При изучении некоторого признака выборочной совокупности проводят испытания (наблюдения). Пусть посредством независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, получены числовые значения
, где 
- объем выборки. Располагают эти значения в порядке возрастания:
И называют полученную последовательность дискретным вариационным рядом, а сами значения
-вариантами. Среди вариант могут оказаться равные, тогда дискретный вариационный ряд можно записать так:
(36.1)
Где
— частота появления значения
, причем
(36.2)
Относительной частотой
Варианты
Называется отношение ее частоты к объему выборки:
Статистическим распределением выборки называется соответствие между вариантами и их частотами (или относительными частотами). Статистическое распределение может быть задано, например, с помощью таблицы.
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называется функция, определяющая для каждого значения х относительную частоту события
Где
- число вариант, меньших х, и—объем выборки. Функция
Обладает сле
Дующими свойствами:
— неубывающая функция; 3) если а—
Наименьшая,
— наибольшая варианты, то
При
При
Пусть случайная величина
Имеет распределение
Содержащее неизвестный
Параметр
Оценить параметр
- значит приближенно определить его значение по некоторой выборке
Оценю,' параметра
Обозначим через
Оценка
Параметра
Называется несмещенной, если 
, и смещенной, если
Оценка
Параметра
Называется состоя
Тельной, если
При любом
Оценка
Называется эффек
Тивной, если при заданном
Она имеет наименьшую дисперсию, т. е.
Генеральной средней
Называется среднее арифметическое значений
Генеральной совокупности объема
Выборочной средней
Называется среднее арифметическое выборки
Объема
Или
(36.3)
Если выборка имеет вид (36.1).
Выборочную среднюю принимают в качестве оценки генеральной средней. Эта оценка является несмещенной и состоятельной, так как
Генеральной дисперсией
Называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений генеральной совокупности
От их среднего значения
Генеральным средним квадратическим отклонением
Называется корень квадратный из генеральной дисперсии:
Выборочной дисперсией
Называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений выборки
От их среднего значения
(36.4)
Если выборка имеет ввд (36л).
Выборочное среднее квадратическое отклонение
Определяется формулой
(36.5)
Для вычисления выборочной дисперсии можно пользоваться формулой 
, где
(
- частота
,
). Аналогичная формула верна и для гене
Ральной дисперсии.
Так как
Т. е.
То выборочная дисперсия яв
Ляется смещенной оценкой генеральной дисперсии. Чтобы получить несмещенную оценку, генеральной дисперсии
, вводят понятие эмпирической (или исправленной) дисперсии
Для оценки генерального среднего квадратического отклонения служит исправленное среднее квадратическое отклонение, или эмпирический стандарт
(36.6)
В случае, когда все значения выборки
Различны, т. е.
, формулы для
И
Принимают вид
Если выборка задана в виде распределения равноотстоящих вариант, то выборочное среднее
И выборочную дисперсию Ц удобно находить методом произведений по формулам
(36.7)
Где
- варианта, имеющая наибольшую частоту (ложный нуль),
' - шаг,
- условный момент первого порядка,
- условный момент второго порядка;
(36.9)
— условная варианта,
— объем выборки,
— частота варианты
Пример 36.1. Методом произведений найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению выборки:
Данная выборка является равноотстоящей, так как разности между двумя последующими вариантами постоянны:
При
Причем 
По формуле (36.2) находим
Наибольшую частоту имеет варианта 
С помощью второй из формул (36.8) находим условные варианты щ и составляем таблицу (табл. 36.1) значений величин, входящих в формулы (36.7). По формулам (36.9) находим
С помощью формул (36.7) получаем
В
Соответствии с формулой (36.5) находим
Таблица 36.1
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
