35.6. Некоторые законы распределения случайных величин

Пусть производятся испытания, в каждом из которых может появится событие Л. Если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называют независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же; обозначим эту вероятность через, а через

- вероятность появления события, противоположного событию

Вероятность того, что в серии из и независимых испытаний событие А появится ровноРаз (и не появитсяРаз), выражается формулой Бернулли

(35.19)

Где

—вероятность событияВ каждом испытании,— вероятность события Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биноминальным. Биноминальный закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде схемы

Для случайной величины, распределенной по биноминальному закону с параметрами

Геометрическим распределением называется распределение дискретной случайной величины X, определяемое формулой

Это название связано с тем, что ряд вероятностейПредставляет собой

Бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем сумма этого ряда равна единице. Для геометрически распределенной случайной величины

Распределением Пуассона называется распределение дискретной случайной величины, определяемое формулой

Для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, Где

Случайная величинаНазывается равномерно распределенной на отрезке , если плотность распределения вероятностей этой величины постоянна на данном отрезке и равна нулю вне его:

Для случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке, вероятность попадания в интервалПринадлежащий этому отрезку, пропорциональна длине интервала:

Функция распределенияЭтой величины имеет виц

Для этой случайной величины

Показательное распределение определяется формулой

Кривая распределения вероятноястей этой величины представлена на рис. 35.5. Функция распределенияВ этом случае имеет вид

График функцииИзображен на рис. 35.6. Для этой случайной величины

Нормальным распределением (или распределением Гаусса) называется распределение случайной величины, определяемое формулой

(35.20)

Параметры распределенияИ нормальной случайной величиныИмеют следующие значения:

График функцииНазывают нормальной кривой или кривой Гаусса. На рис. 35.7 представлены три кривые при одномИ различных

Вероятность попадания значений нормально распределенной случайной величиныВ интервалОпределя

Ется формулой

(35.21)

Где- функция Лапласа:

(35.22)

С помощью этой функции выражается вероятность неравенстваДля

Нормальной случайной величины

ПриТ. е.Последнее равенство принимает вид

И выражает правило трех сигм: если случайная величина распределена по нормальному закону, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Пример 35.7. Найти вероятность попадания в интервал (4,9) значений нормальной случайной величиныДля которой математическое ожиданиеСреднее квадратическое отклонение

Применяем формулу (35.21), которая в данном случае примет ввд

Поскольку функция Лапласа (35.22) является нечетной, то

(ЗначенияИ

Найдены по таблице значений функции Лапласа.)

< Предыдущая		Следующая >