31.2. Разности различных порядков. Разделенные разности

Рассмотрим значенияФункцииВ точках

... Выделим всевозможные пары соседних значений:... ив каждом случае вычтем пре

Дыдущее значение из последующего, получим разности:

Эти разности называют конечными разностями первого порядка или просто первыми разностями. Обозначения первых разностей:

(31.4)

Разностями второго порядка или вторыми разностями называют разности первых разностей  _  Обозначают вторые разности через

(31.5)

. Разности третьего порядка (или третьи разности) определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются последующее разности. Разности (и + 1)-го порядка получаются из разностей и-го порядка по формулам

(31.6)

Таблица разностей различных порядков строится согласно схеме (табл. 31.1).

Таблица 31.1

Каждое число из этой таблицы (начиная с третьего столбца) является разностью двух смежных чисел столбца слева (из нижнего числа вычитается верхнее; разность записывается в следующем столбце между этими числами). Третий столбец содержит первые разности, четвертый - вторые и т. д.

Для контроля вычислений при составлении таблицы разностей пользуются следующим утверждением: сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних чисел предыдущего столбца.

Разделенные разности первого порядка определяются формулами

(31.7)

Разделенные разности второго порядка получаются из разделенных разностей первого порядка по формулам

(31.8)

Аналогично определяются разделенные разности третьего порядка:

(31.9)

Разделенные разностиГо порядка получаются из разностей-го порядка по формулам

(31.10)

В случае равноотстоящих узлов с шагомРазделенные разно

Сти различных порядков имеют вид:

(31.11)

(31.12)

Пр имер 31.3. Составить таблицу разностей различных порядков при следующих значенияхИ

По формулам (31.4) находим первые разности:

В

Соответствии с формулами (31.5) получаем разности второго порядка:

Аналогично находим разности третьего порядка: ,.И разность

Четвертого порядка

Полученные разности можно представить в виде табл. 31.2.

Таблица 31.2

Замечание. Последние две строки служат для контроля вычислений: в строкеЧисла равны суммам всех чисел, расположенным в соответствующем столбце, в строке- разности последнего и первого числа соответствующего столбца. Совпадение этих чиселВ таблице - по диа

Гонали) означает, что вычисления таблицы верны.

< Предыдущая		Следующая >