27.6. Нормальные системы дифференциальных уравнений

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида

(27.19)

Где— искомые функции независимой переменной х,

— заданные функции указанных аргументов. Порядком нормальной системы называется число входящих в нее уравнений. Решением системы

(27.19) в интервалеНазывается совокупностьФункций

, определенных и непрерывно дифференцируемых в этом интервале, если она обращает в тождество каждое из уравнений данной системы:

Для всех

Задачи Коши для системы (27.19). Найти решение

Где- заданные числа.

Совокупность п функций

(27.22)

Называется общим решением системы (27.19), если:

1)  система (27.22) разрешима относительно произвольных постоянных

(27.23)

2)  совокупность функций (27.22) является решением системы (27.19) при всех значениях постоянных, определяемых формулами (27.23).

Решение, получающееся из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным.

Каждое из равенств (27.23), т. е.I, на

Зывается первым интегралом системы (27.19), а каждая из функций — интегралом этой системы. Совокупность первых интегралов называется общим интегралом системы (27.19).  ,

Первые интегралы (27.23), образующие общий интеграл системы (27.19), обладают тем свойством, что интегралыНезависимы, т. е. между функциямиНе существует соотношения видаНи при каком выборе функции

При некоторых условиях, наложенных на правые части уравнений системы

(27.19), эта система имеетНезависимых интегралов.

Перепишем систему (27.19) так:

(27.24)

Система (27.24) дифференциальных уравнений первого порядка называется системой в симметрической форме, соответствующей нормальной системе (27.19).

Это частный случай системы в симметрической форме общего вида:

Если дана системадифференциальных уравнений в симметрической форме

То, принимаяЗа независимую переменную, ее можно привести к следующей нормальной системе-го порядка:

(27.26)

Решение, интеграл, первый интеграл, общее решение и общий интеграл системы (27.26) называют соответственно решением, интегралом, первым интегралом, общим решением и общим интегралом системы (27.25).

Пример 27.10. Найти общий интеграл системы

Интегрируем эту нормальную систему дифференциальных уравнений:

(I) (II)

Формулы (I) определяют общее решение системы. Каждое из равенств (II) являемся первым интегралом системы, а их левые части - интегралы системы. Поскольку интегралыИНезависимы, то общий интеграл системы определяется равенствами (II).

Замечание. Данную систему можно записать и в симметрической форме:

Из последней системы следует, что имеется еще один первый интеграл Соответствующий интегралВыражается через независимые

ИнтегралыА именно

< Предыдущая		Следующая >