12.03. Применение дифференциала к приближенным

По условию теоремы, , следовательно, А значит, – возрастающая функция, что и требовалось доказать.

Соответствующее утверждение имеет место и для отрицательной производной.

Доказанные теоремы позволяют связать возрастание и убывание функции со знаком производной. Геометрический смысл состоит в том, что при положительной производной касательная к графику функции образует острый угол с положительным направлением оси x и функция при этом возрастает, а для графика убывающей функции этот угол тупой и функция убывает (рис. 11.12).

Рис. 11.12. Связь возрастания и убывания функции Со знаком производной.

 

ТЕОРЕМА 3 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВО­ВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА). Если функция имеет экстремум в некоторой точке С и в этой точке существует производная , то она равна нулю: .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть для определенности в точке c функция имеет максимум, тогда независимо от знака достаточно малых будет иметь место неравенство

По определению производной, в точке с имеем:

Но

Для

И

Для .

Следовательно, единственно возможным значением

Может быть нуль, то есть , что и требовалось доказать.

Подчеркнем, что данная теорема является всего лишь необходимым условием, но не достаточным. Это значит, что если в некоторой точке с

То вопрос о существовании экстремума остается открытым: он может быть или же не быть – нужны дополнительные исследования.

Если же

Пользуясь доказанной теоремой, сформулируйте достаточное условие обращения производной дифференцируемой функции в нуль.

То этого уже достаточно, чтобы утверждать, что в точке с экстремума Нет (обратно–противоположная теорема эквивалентна прямой). В реальных условиях мы не знаем, имеет ли функция экстремум, поэтому, отыскивая корни уравнения

Мы находим лишь точки, подозрительные на экст-ремум (рис. 11.13). Требуются дополнительные исследования для установления его существования или отсутствия.

Рис. 11.13. Различные случаи поведения функции при равенстве нулю ее производной: а) наличие экстремума при равенстве нулю производной функции; б) отсутствие экстремума при равенстве нулю производной функции.

 

Рис. 11.14. Различные случаи поведения функции, Не имеющей производную в точке с: А) функция имеет экстремум; Б) функция экстремума не имеет.

 

Рис. 11.15. Различные случаи поведения функции, имеющей бесконечную производную в точке с: А) функция имеет экстремум; Б) функция экстремума не имеет.

 

Исчерпывают ли точки, подозрительные на экстремум, все возможные ситуации, при которых следует искать экстремум функции? Оказывается, нет. Точки, в которых производная функции не существует или обращается в бесконечность, тоже могут оказаться точками экстремума (рис. 11.14, 11.15).

Точки, в которых производная функции обращается в нуль, в бесконечность или же не существует, называются КРИТИЧЕСКИМИ. Их и следует выделить для продолжения исследования. Для этого рассмотрим достаточное условие существования экстремума функции.

ТЕОРЕМА 4 (ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА). Если функция непрерывна в интервале, содержащем критическую точку с, дифференцируема во всех точках этого промежутка, за исключением, быть может, самой точки с, и при переходе слева направо через критическую точку производная меняет знак с плюса (минуса) на минус (плюс), то в этой точке функция имеет максимум (минимум). Если смены знака производной не происходит, то точка с не является точкой экстремума.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть для определенности при переходе через точку с слева направо производная меняет знак с плюса на минус:

По теореме Лагранжа, на отрезке , принадлежащем данному интервалу,

Для Имеем:

Поэтому

Или

.

Для рассуждаем аналогично:

И также получим

Или

Это означает, что точка с – точка максимума. В случае минимума рассуждения аналогичны. Теорема доказана.

Если при переходе через точку с Не происходит смены знака производной, то, по теореме 2, функция сохраняет характер своей монотонности (при функция Возрастает, а при убывает). Следовательно, в точке с не может быть экстремума.

Рис. 11.16. Некоторые случаи применения первого Достаточного условия экстремума: А) максимум функции в точке : , , , , ; Б) отсутствие экстремума функции в точке : , , , x>c, .

 

Достоинство данного признака существования экстремума состоит в том, что в самой точке с требуется лишь непрерывность функции, что существенно расширяет область его применения (рис. 11.16).

Его возможным недостатком могут быть трудности, возникающие при изучении знака первой производной слева и справа от точки с.

< Предыдущая		Следующая >