8.7. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования

  Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров и т. п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью N лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход R(T) (T – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(T), которая также зависит от возраста T, и купить новое оборудование за цену P. Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все N лет был максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял T0 лет.

Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет,  остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования T0.

Таблица 26

T

0

1

N

R

R(0)

R(1)

R(n)

S

S(0)

S(1)

S(N)

 При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как N-шаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на N-шагов.

Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с K-го по N-й годы.

Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. K-го года.

Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (K = N), то на K-м шаге неизвестно, в какие годы с первого по (K – 1)-й должна осуществляться замена и соответственно неизвестен возраст оборудования к началу K-го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим T. На величину T накладывается следующее ограничение:

  (*)

Выражение (*) свидетельствует о том, что T не может превышать возраст оборудования за (K – 1)-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет T0 лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу K-го года, если замена произошла в начале предыдущего (K – 1)-го года).

Таким образом, переменная T в данной задаче является переменной состояния системы на K-м шаге.

Переменной управления на K-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (C) или заменить (З) оборудование в начале K-го года:

Функцию Беллмана Fk(T) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с K-го по N-й, если к началу K-го возраст оборудования составлял T лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале K-го года оборудование сохраняется, то к началу (K + 1)-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет T+1), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (K + 1)-го года возраста TI = 1 год.

На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функцию Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых – непосредственного результата управления и его последствий.

Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого T лет, то доход за этот год составит R(T). К началу (K + 1)-го года возраст оборудования достигнет (T + 1) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (K + 1)-го по N-й) составит Fk+1(T+1). Если в начале K-го года принято решение о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста T лет по цене S(T), приобретается новое за P единиц, а его эксплуатация в течение K-го года нового оборудования принесет прибыль R(0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (K + 1)-го по N-й максимально возможный доход будет Fk+1(1). Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге управления имеет вид

  (31)

Функция Fk(T) вычисляется на каждом шаге управления для всех . Управление, при котором достигается максимум дохода, является оптимальным.

Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n-й год:

   (32)

Значения функции Fn(T), определяемые Fn-1(T), Fn-2(T) вплоть до F1(T). F1(T0) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года. Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по N-й и т. д. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.

Пример 74. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы табл. 27, стоимость нового оборудования равна  P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.

Таблица 27

T

0

1

2

3

4

5

6

R(t)

8

7

7

6

6

5

5

S(T)

12

10

8

8

7

6

4

 Решение. 1 этап. Условная оптимизация.

1-й шаг. K = 6. Для первого шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 6. Функциональное управление имеет вид (31).

2-й шаг. K = 5. Для второго шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 5. Функциональное уравнение имеет вид

 

 

3-й шаг. K = 4.

 

4-й шаг. K = 3.

5-й шаг. K = 2.

6-й шаг. K = 1.

Результаты вычислений Беллмана Fk(T) приведены в следующей таблице, в которой K – год эксплуатации, T – возраст оборудования.

Таблица 28

T

K

1

2

3

4

5

6

1

37

2

31

30

3

26

24

23

4

20

19

17

16

5

14

13

12

11

10

6

7

7

6

6

5

5

 В табл. 28 выделено серым значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.

2-й этап. Безусловная оптимизация.

Безусловная оптимизация начинается с шага при K = 1. Максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F1(1) = 37. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования. Тогда к началу второго года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: T2 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2. Безусловно, оптимальное управление при K=2, Х2(2) = С, т. е. максимум дохода за годы со 2-го по 6-й достигается, если оборудование не заменяется.

К началу третьего года при k=3 возраст оборудования станет: T3 = T2 + 1 = 3. Безусловное оптимальное управление Х3(3) = З, т. е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо провести замену оборудования.

К началу четвертого года при K=4 возраст оборудования станет равен T4=1. Безусловное оптимальное управление Х4(1) = С.

Далее соответственно:

Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.

Яндекс.Метрика