logo

Решение контрольных по математике!!!

23. Методические указания к выполнению задания № 5

Математическая статиcтика изучает массовые явления и процессы, ставя целью получение выводов по данным наблюдений за ними. В результате появляются утверждения об общих характеристиках таких явлений в предположении постоянства начальных условий явления. Теоретической основой математической статистики является теория вероятностей.

Поскольку число наблюдений конечно, их результаты можно записать в таблицу аналогично дискретной случайной величине, только в нижней строке не вероятности, а частоты тех или иных значений, а чаще – диапазонов. При этом при анализе такой таблицы нередко возникает предположение, что данная величина распределена по одному из известных непрерывных законов (см. комментарии к задаче № 4), чаще всего – нормальному (гауссовскому).

Типовой пример

Получены статистические данные (N=500) зависимости результатов измерения роста студентов (Х) от окружности груди (Y). Измерения проводились с точностью до 1 см.

Таблица 1

Статистические данные типового примера

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

X

172

172

163

187

172

161

176

164

166

168

162

163

Y

88

91

89

99

90

85

88

84

82

82

82

89

…………..

N

489

490

491

492

493

494

495

496

497

498

499

500

X

165

173

166

175

158

174

178

170

167

168

161

161

Y

85

89

84

98

83

86

90

86

93

94

89

88

Требуется:

1 часть.

1) произвести выборку из 200 значений;

2) построить эмпирическую функцию распределения, полигон, гистограмму для случайной величины Х;

3) построить точечные и интервальные оценки для мат. ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;

4) сделать статистическую проверку гипотезы о законе распределения случайной величины Х;

Часть 2.

1) нанести на координатную плоскость данные выборки (X;Y) и по виду корреляционного облака подобрать вид функции регрессии;

2) составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;

3) вычислить коэффициент корреляции;

4) получить уравнение регрессии;

Решение.

1) Произведём из генеральной совокупности N=500 выборку N=200 значений. Для этого воспользуемся таблицей случайных чисел (Приложение А). Выберите столбец, номер которого соответствует месяцу Вашего рождения. В этом столбце отсчитайте порядковый номер даты дня рождения. В полученном случайном числе определите номера ещё трёх столбцов. Для данного примера выбрана дата 31 декабря. В 12 столбце определили 31 номер случайного числа. Это число 0436. Значит выбранными будут столбцы №12;4;13;16. (№12 – месяц Вашего рождения, №4 – первая или вторая цифра в случайном числе, которая не использовалась, №13 – третья цифра в случайном числе +10, №16 – четвёртая цифра в случайном числе +10). Если цифры повторяются, то нужно взять со3седние номера. Например, случайное число во втором столбце - 4422. Нужно выбрать номера 2,4,12,13.

Для осуществления выборки берутся последние три цифры в случайном числе, которые определяют порядковый номер выборочного значения. Если в выборке встретился номер, которого нет в генеральной совокупности, то необходимо вычислить разность между этим числом и 500. Если полученный номер уже выбрали, то необходимо выбрать следующий за ним номер.

Для представленного примера получилась выборка:

Таблица 2

Выборочные данные X и Y

N

106

493

66

201

274

158

223

336

362

162

96

20

X

162

166

172

169

176

167

167

168

167

169

167

69

Y

100

84

82

91

86

90

92

88

89

88

89

83

N

288

251

257

152

279

478

86

439

368

203

271

395

X

169

163

164

164

164

178

176

167

165

172

168

170

Y

91

92

84

89

85

91

82

85

90

87

88

88

N

396

94

305

341

12

128

492

407

172

87

441

29

X

187

165

171

171

169

163

161

175

172

163

180

172

Y

86

87

94

91

79

80

88

95

89

91

98

90

N

140

59

70

453

487

447

105

232

95

456

80

225

X

174

164

169

157

178

176

161

176

165

161

182

176

Y

97

89

88

90

90

93

94

90

87

84

90

93

N

147

101

373

51

343

355

195

463

260

183

326

282

X

168

164

160

178

170

168

173

176

170

163

165

165

Y

93

91

83

89

90

81

89

95

81

93

84

88

N

139

483

399

467

266

372

356

290

241

273

450

329

X

170

166

165

181

172

165

172

178

173

165

174

159

Y

86

84

85

92

88

91

98

90

90

87

96

81

Продолжение таблицы 2

N

469

423

242

475

168

365

107

428

367

457

224

199

X

171

169

169

170

170

165

190

175

157

148

172

159

Y

92

92

87

91

88

94

105

91

82

87

99

83

N

404

363

192

109

429

60

13

291

400

337

100

187

X

162

167

167

160

175

163

164

180

164

169

169

170

Y

92

85

88

87

90

91

89

85

84

87

91

93

N

88

292

283

52

45

358

252

62

130

286

361

184

X

179

167

162

169

172

166

164

173

161

159

166

158

Y

99

81

80

91

99

82

84

84

82

86

84

91

N

79

371

378

419

307

56

374

169

43

298

239

145

X

163

165

170

172

161

171

166

164

183

173

166

167

Y

88

87

91

94

84

97

87

97

90

90

89

85

N

325

65

153

375

9

340

142

193

261

116

26

253

X

162

156

167

168

170

171

174

179

161

170

172

166

Y

89

88

86

92

90

91

90

85

79

95

91

88

N

61

202

440

21

200

221

332

275

287

108

468

103

X

173

172

179

155

175

173

170

171

171

167

165

173

Y

89

96

85

86

89

96

96

83

90

91

91

90

N

240

110

424

414

296

284

83

435

81

54

397

134

X

167

165

169

171

181

164

164

176

163

165

174

177

Y

89

94

82

89

89

86

91

87

88

93

86

87

N

303

430

34

144

277

451

179

472

342

293

327

448

X

180

170

168

175

171

170

168

160

169

164

171

164

Y

90

91

82

85

89

90

87

85

91

87

91

83

N

154

438

297

219

196

204

230

258

262

213

89

357

X

164

163

170

174

161

167

173

164

174

168

176

156

Y

83

88

92

88

91

91

87

90

91

83

93

85

N

426

480

156

127

295

115

36

7

473

376

157

254

X

162

168

176

184

165

176

163

167

169

186

172

175

Y

90

93

88

98

94

92

89

88

89

92

91

90

N

98

126

265

443

82

110

432

479

X

170

173

160

171

169

165

185

168

Y

90

91

89

85

87

94

91

90

Составим ранжированный (по увеличению) ряд для случайной величины Х.

Таблица 3

Ранжированный ряд случайной величины Х

X

148

155

156

156

157

157

158

159

159

159

160

160

Y

87

86

85

88

82

90

91

81

83

86

83

85

X

160

161

161

161

161

161

161

162

162

162

162

162

Y

87

79

82

84

84

88

91

80

89

90

92

94

X

162

163

163

163

163

163

163

163

163

163

164

164

Y

100

80

88

88

88

89

91

91

92

93

83

83

X

164

164

164

164

164

164

164

164

164

164

164

164

Y

84

84

84

85

86

87

89

89

89

90

90

91

X

164

164

165

165

165

165

165

165

165

165

165

165

Y

91

97

84

85

87

87

87

87

88

90

91

91

X

165

165

165

165

165

166

166

166

166

166

166

166

Y

93

94

94

94

94

82

84

84

84

87

88

89

X

166

167

167

167

167

167

167

167

167

167

167

167

Y

89

81

85

85

85

86

88

88

89

89

89

90

X

167

167

167

168

168

168

168

168

168

168

168

168

Y

91

91

92

81

82

83

87

88

88

90

92

93

X

168

169

169

169

169

169

169

169

169

169

169

169

Y

93

79

83

87

87

87

88

88

89

91

91

91

X

169

169

169

169

170

170

170

170

170

170

170

170

Y

91

91

92

92

81

86

88

88

90

90

90

90

X

170

170

170

170

170

170

170

171

171

171

171

171

Y

91

91

91

92

93

95

96

83

85

89

89

90

X

171

171

171

171

171

171

172

172

172

172

172

172

Y

91

91

91

92

94

97

82

87

88

89

90

91

X

172

172

172

172

172

172

173

173

173

173

173

173

Y

91

94

96

98

99

99

84

87

89

89

90

90

X

173

173

173

174

174

174

174

174

174

175

175

175

Y

90

91

96

86

88

90

91

96

97

85

89

90

Окончание таблицы 3

X

175

175

175

176

176

176

176

176

176

176

176

176

Y

90

91

95

82

86

87

88

90

92

93

93

93

X

176

177

178

178

178

178

179

179

179

180

180

180

Y

95

87

89

90

90

91

85

85

99

85

90

98

X

181

181

182

183

184

185

186

187

190

Y

89

92

90

90

98

91

92

86

105

Cоставим новую таблицу, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .

Таблица 4

Дискретный вариационный ряд

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

148

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

1

1

2

2

1

3

3

6

6

9

15

15

I

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

177

8

14

10

15

15

11

12

9

6

6

10

1

I

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

190

4

3

3

2

1

1

1

1

1

1

1

В данном примере случайные величины сплошь заполняют промежуток (148;190). Число возможных значений велико. Их нельзя представить в виде случайных величин, принимающих отдельные, изолированные значения, тем самым отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины. Поэтому для построения вариационного ряда будем использовать интервальный ряд распределения. Весь возможный интервал варьирования разобьём на конечное число интервалов и подсчитаем частоту попадания значений величины в каждый интервал. Минимальное и максимальное значения случайной величины: Тогда интервал варьирования R («размах») будет равен R= Длину интервала рассчитывают по формуле:

(6)

При этом значение признака, находящегося на границе интервалов относят к правой границе интервала.

На практике считают, что правильно составленный ряд распределения содержит от 6 до 15 частичных интервалов. Часто интервальный вариационный ряд заменяют дискретным вариационным рядом, выбирая средние значения интервала (таблица №7).

Для данного примера , округлим до 3, т. е. размер интервала H=3, а число интервалов будет равно 14. Соответствующий интервальный вариационный ряд приведён в таблице №5.

Таблица 5

Интервальный вариационный ряд

Индекс интервала

I

Число покупателей

(интервалы)

Частота

Относительная частота

1

148-151

1

1/200

2

151-154

0

0

3

154-157

5

5/200

4

157-160

7

7/200

5

160-163

21

21/200

6

163-166

38

38/200

7

166-169

39

39/200

8

169-172

38

38/200

9

172-175

21

21/200

10

175-178

15

15/200

Окончание таблицы 5

Индекс интервала

I

Число покупателей

(интервалы)

Частота

Относительная частота

11

178-181

8

8/200

12

181-184

3

3/200

13

184-187

3

3/200

14

187-190

1

1/200

=1

2) После составления вариационного ряда необходимо построить функцию распределения выборки или эмпирическую функцию F*(X)=, то есть функцию найденную опытным путём. Здесь – относительная частота события Х< х, n - общее число значений.

Эмпирическое распределение можно изобразить в виде полигона, гистограммы или ступенчатой кривой.

* Построим выборочную функцию распределения. Очевидно, что для функция так как . На концах интервалов значения функции рассчитаем в виде «нарастающей относительной частоты» (Таблица 6).

Таблица 6

Расчёт эмпирической функции распределения

Индекс интервала

I

1

1/200

2

1/200

3

1/200+5/200=6/200

4

6/200+7/200=13/200

5

13/200+21/200=34/200

6

34/200+38/200=72/200

Окончание таблицы 6

Индекс интервала

I

7

72/200+39/200=111/200

8

111/200+38/200=149/200

9

149/200+21/200=170/200

10

170/200+15/200=185/200

11

185/200+8/200=193/200

12

193/200+3/200=196/200

13

196/200+3/200=199/200

14

199/200+1/200=200/200

Табличные значения не полностью определяют выборочную функцию распределения непрерывной случайной величины, поэтому при графическом изображении её доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезками прямой (рис.1).

Полученные данные, представленные в виде вариационного ряда, изобразим графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами , где - среднее значение интервала , а - относительная частота.(таблица 7 и рис.2). На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические) частоты.

Таблица 7

Дискретный вариационный ряд

Номер интервала

I

Среднее значение интервала

Относительная частота

Выборочная

Оценка плотности вероятности

1

149,5

0,005

0,002

2

152,5

0

0

3

155,5

0,025

0,008

Окончание таблицы 7

4

158,5

0,035

0,012

5

161,5

0,105

0,035

6

164,5

0,19

0,063

7

167,5

0,195

0,065

8

170,5

0,19

0,063

9

173,5

0,105

0,035

10

176,5

0,075

0,025

11

179,5

0,04

0,013

12

182,5

0,015

0,005

13

185,5

0,015

0,005

14

188,5

0,005

0,002


Рис.1


Рис.2

На основании полученных выборочных данных необходимо сделать предположение, что изучаемая величина распределена по некоторому определённому закону. Для того чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты полученных в наблюдениях значений, т. е. находят теоретически сколько раз величина Х должна была принять каждое из наблюдавшихся значений, если она распределена по предполагаемому закону. Для этого находят выравнивающие (теоретические) частоты по формуле:

(7)

Где N – число испытаний,

- вероятность наблюдаемого значения , вычисленная при допущении, что Х имеет предполагаемое распределение.

Эмпирические (полученные из таблицы) и выравнивающие частоты сравнивают, и при небольшом расхождении данных делают заключение о выбранном законе распределения.

Предположим, что случайная величина Х распределена нормально (см. комментарии к задаче № 4). В этом случае выравнивающие частоты находят по формуле:

(8)

Где N-число испытаний,

H-длина частичного интервала,

-выборочное среднее квадратичное отклонение,

( - середина I – го частичного интервала)

– функция Лапласа (9)

Результаты вычислений отобразим в таблице №8.

Сравнение графиков (рис.2) наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдавшимся и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.

Таблица 8

Расчёт выравнивающих частот

149,5

152,5

155,5

158,5

161,5

164,5

167,5

170,5

173,5

176,5

179,5

182,5

185,5

188,5

-19,5

-16,5

-13,5

-10,5

-7,05

-4,05

-1,05

1,95

4,95

7,95

10,95

13,95

16,95

19,95

-3

-2,53

-2,06

-1,59

-1,11

-0,64

-0,17

0,31

0,78

1,25

1,73

2,2

2,67

3,15

0,004

0,02

0,048

0,11

0,22

0,33

0,396

0,38

0,3

0,18

0,09

0,04

0,011

0,003

0,42

1,55

4,54

10,68

20,37

31,0

37,48

36,0

28,0

17,34

8,44

3,37

1,06

0,26

1

2

5

11

20

31

37

36

28

17

8

3

1

0

0,05

0,01

0,025

0,055

0,1

0,155

0,185

0,18

0,14

0,085

0,04

0,015

0,005

0

Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы (рис.3). На оси Х отложим интервалы длиной H=3, а на оси Y значения ,расчёт которых представлен в таблице №7. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получать первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.


Рис.3

3) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя таблицу №4.

Выборочная средняя ():

или , (10)

Где - частоты,

А -объём выборки. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания (среднего значения теоретического закона распределения).

В некоторых случаях удобнее рассчитать с помощью условных вариант. В нашем случае варианты - большие числа, поэтому используем разность:

(11)

Где С – произвольно выбранное число (ложный нуль). В этом случае

. (12)

Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путём использования масштабного множителя:

, (13)

Где (B выбирается положительным или отрицательным числом).

. Здесь С – середина 8-го интервала.

Выборочная дисперсия ():

(14)

также может быть рассчитана с помощью условных вариант:

(15)

=(1*441+0*324+…+1*324)- 1,95²=40,21

Среднеквадратическое отклонение:

= (16)

==6,34

Найдем несмещённую оценку дисперсии и среднеквадратического отклонения («исправленную» выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение) по формулам:

и (17)

==40,41 и S=6,34=6,36

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 определяют по формуле:

P(-TФ(t)= (18)

Из соотношения Ф(Z)=/2 вычисляют значение функции Лапласа: Ф(Z)=0,475. По таблице значений функции Лапласа ( Приложение А) находят Z=1,96. Таким образом,

168,55-1,96,

167,67<A<169,43.

Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного отклонения случайной величины находят по формуле:

, (19)

Где S – несмещённое значение выборочного среднего квадратичного отклонения;

Q – параметр, который находится по таблице (Приложение В) на основе известного объёма выборки n и заданной надёжности оценки .

На основании данных значений =0,95 и N=200 по таблице (Приложение В) можно найти значение Q=0,099. Таким образом,

,

5,79<

V= (20)

4) Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (R=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. По выборочным данным (таблицы 5 и 7) полученные оценки параметров нормального распределения, вычисленные выше:

, , S=6,36.

Для расчёта теоретических частот используют табличные значения функции Лапласа Ф(Z). Алгоритм вычисления состоит в следующем:

- по нормированным значениям случайной величины Z находят значения Ф(Z), а затем :

, =0,5+Ф().

Например,

; ; Ф(-3,0)=-0,4987;

;

- далее вычисляют вероятности =P(;

- находят числа , и если некоторое <5, то соответствующие группы объединяются с соседними.

Результаты вычисления , , и приведены в таблице 9.

По формуле

= (21)

можно сделать проверку расчетов.

По таблице (приложения Г) можно найти число по схеме: для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы L=K-R-1=9-2-1=6=12,6. Следовательно, критическая область - (12,6;). Величина =15,61 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения, отвергается.

При α=0,1 =10,6. Критическая область - (10,6;). Величина =15,61 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.

При α=0,01 =16,8, (16,8;). В этом случае нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.

Таблица 9

Определение

I

Ф()

0

149,5

0

-0,500

0,000

0,0013

0,0013

0,26

-

1

149,5

152,5

1

-0,449

0,0013

0,0059

0,0046

0,92

-

2

152,5

155,5

0

-0,494

0,0059

0,02

0,014

2,8

-

3

155,5

158,5

5

-0,48

0,02

0,057

0,037

7,4

2,54

4

158,5

161,5

7

-0,44

0,057

0,134

0,077

15,4

4,58

5

161,5

164,5

21

-0,37

0,134

0,26

0,126

25,2

0,7

6

164,5

167,5

38

-0,24

0,26

0,433

0,1725

34,5

0,36

7

167,5

170,5

39

-0,07

0,433

0,62

0,188

37,6

0,06

8

170,5

173,5

38

0,12

0,62

0,78

0,16

32

1,125

9

173,5

176,5

21

0,28

0,78

0,89

0,11

22

0,045

10

176,5

179,5

15

0,39

0,89

0,96

0,07

14

0,071

11

179,5

182,5

8

0,46

0,96

0,99

0,03

6

6,125

12

182,5

185,5

3

0,49

0,99

0,996

0,006

1,2

-

13

185,5

188,5

3

0,496

0,996

0,999

0,003

0,6

-

14

188,5

1

0,5

0,999

1,0

0,001

0,2

-

,0000

2 часть

1) Данные таблицы 3 сгруппируем в корреляционную таблицу 10.

2) Строим в системе координат множество, состоящее из 200 экспериментальных точек (рисунок 4).

По расположению точек делаем заключение о том, что экономико-математическую модель можно искать в виде .

3) Найдём выборочные уравнения линейной регрессии.

Для упрощения расчётов разобьём случайные величины на интервалы и выберем средние значения. Для величины Х указанные действия были выполнены в 1 части задания.

Таблица 10

Корреляционная таблица

105

100

99

98

97

96

95

94

93

92

91

90

89

88

87

86

85

84

83

82

81

80

79

Y/X

1

1

148

1

1

155

2

1

1

156

2

1

1

157

1

1

158

3

1

1

1

159

3

1

1

1

160

6

1

1

2

1

1

161

6

1

1

1

1

1

1

162

9

1

1

2

1

3

1

163

15

1

2

2

3

1

1

1

3

2

164

15

4

1

2

1

4

1

1

165

8

2

1

1

3

1

166

14

1

2

1

3

2

1

3

1

167

10

2

1

1

2

1

1

1

1

168

15

2

5

1

2

3

1

1

169

15

1

1

1

1

3

4

2

1

1

170

Продолжение таблицы 10

11

1

1

1

3

1

2

1

1

171

12

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

172

9

1

1

3

2

1

1

173

6

1

1

1

1

1

1

174

6

1

1

2

1

1

175

10

1

3

1

1

1

1

1

1

176

1

1

177

4

1

2

1

178

3

1

2

179

3

1

1

1

180

2

1

1

181

1

1

182

1

1

183

1

1

184

1

1

185

1

1

1

186

1

187

1

1

190

200

1

1

3

3

3

4

3

7

8

11

28

24

19

18

17

7

12

10

7

6

4

2

2


Рис.4

Для случайной величины Y, используя (1), получим H=2, число интервалов равно 13. Результаты внесём в таблицу со сгруппированными данными №11.

Находим средние значения , по формулам:

, (22)

, (23)

, (24)

. (25)

149,5*86+155,5(82+…+90)+…+188,5*104=2986101

Используя формулы:

, (26)

, (27)

Получим

*=,=

Таблица 11

Сгруппированные данные выборки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

XY

149,5

152,5

155,5

158,5

161,5

164,5

167,5170,5173,5

170,5

173,5

176,5

179,5

182,5

185,5

188,5

1

80

1

3

3

1

8

2

82

1

2

1

3

3

2

1

13

3

84

1

1

2

9

3

1

2

3

22

4

86

1

1

2

7

5

1

1

3

1

24

5

88

1

6

7

10

6

4

2

1

37

6

90

1

1

4

6

9

14

9

4

1

2

1

52

7

92

3

1

6

3

4

1

1

19

8

94

1

4

3

1

1

10

9

96

1

3

3

7

10

98

3

2

1

6

11

100

1

1

12

102

13

104

1

1

1

5

7

21

38

39

38

21

15

8

3

3

1

200

4) Вычисляем выборочный коэффициент корреляции по формуле:

. (28)

=

Принято считать, что если 0,1<<0,3 – связь слабая, если 0,3<<0,5 – связь умеренная, если 0,5<<0,7 – связь заметная, если 0,7<<0,9 – связь высокая, если 0,9<<0,99 – связь весьма высокая.

Для данного примера связь между X и Y умеренная.

Затем получают выборочное уравнение линейной регрессии Y на X в виде:

(29)

И выборочное уравнение линейной регрессии X на Y :

. (30)

и

или

Вычисления сумм рекомендуем проводить с помощью пакетов прикладных математических программ (сегодня их существует много).

 
Яндекс.Метрика
Наверх