28. Линейные преобразования линейного пространства

Определение 35. Линейным преобразованием Линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.

J : L ® L

Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразований, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.

1. Если в пространстве Ln Зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ), то матрица А линейного преобразования J : Ln ® Ln имеет вид

А = , Столбцы которой – координаты образов базисных векторов Е.

(35)

2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид J(Е) = Е×А.

3. Связь столбцов координат вектора и его образа: Х1 = А×Х (36)

4. Если в пространстве Ln Зафиксированы два базиса Е = (Е1, Е2, … , Еn) и Е1 = (Е11,Е21, … , Еn1) и Т – матрица перехода от Е к Е1, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А1 = Т-1×А×Т (37).

Определение 36. Квадратные матрицы А И В Называются Подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С–1×А×С.

5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.

6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А И В Одного и того же порядка N Над полем Р и любого линейного пространства Ln над полем Р в Ln существуют такие базисы Е И Е1, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.

Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Зафиксируем в Ln какой-нибудь базис. Матрица А В этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это J). Так как матрица С Невырожденная, то С–1 Может быть матрицей перехода. Пусть Е1 = Е×С–1. Тогда преобразование J в базисе Е1 Будет иметь матрицу С–1×А×(С–1 )–1 = С–1×А×С = В.

7. dim (J(Ln )) + dim (KerJ ) = N.

8. Множество всех линейных преобразований пространства Ln Есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство Ln .

Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства Ln называется Линейным пространством, сопряжённым пространству Ln .

Пространство, сопряжённое Ln , обозначается Ln*.

9. Пространство Ln* изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка N с элементами из поля Р. Следовательно, dim (Ln* ) = N2.

< Предыдущая		Следующая >