logo

Решение контрольных по математике!!!

Home Методички по математике Лекции по математическому анализу. Попов (3 сем) §3.3. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов

§3.3. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов

Определение: Числовой ряд называется мажорантным (или мажорирующим) для функционального ряда на множестве X, если .

Пример 2: ; ; .

Теорема 2 (Признак Вейерштрасса):

Если для функционального ряда на множестве Х существует мажорантный сходящийся ряд , то исходный функциональный ряд сходится на множестве Х.

Док-во: Зададим произвольное , по критерию Коши для числовых рядов И – натурального, выполняется условие . Т. к. по условию , то – натурального и выполняется . Таким образом, для функционального ряда выполняется критерий Коши равномерной сходимости, ч. т.д.

Признак Дирихле-Абеля

Определение: Функциональная последовательность называется равномерно ограниченной

На множестве Х, если существует константа M такая, что .

Пример 3: Функциональная последовательность является равномерно ограниченной на множестве выполняется .

Признак Дирихле-Абеля относится к рядам следующего фиксированного вида:

Теорема 3 (признак Дирихле-Абеля равномерной сходимости функциональных последовательностей):

Пусть:

1. Функциональная последовательность не возрастает при каждом а сходится к нулю равномерно на множестве Х (т. е. на X).

2. Последовательность равномерно ограничена на множестве X. Тогда ряд сходится равномерно на множестве X.

Док-во: Признака Дирихле-Абеля полностью повторяет схематично доказательство данного признака для числовых рядов.

Пример 4: . Будем считать, что ( не зависит от X). Причем последовательность является убывающей последовательностью, потому выполнено условие (1) признака Дирихле-Абеля: выполним следующую оценку: при .

Рассмотрим сколь угодно малое выполняется, что , следовательно, выполнено условие (2) признака Дирихле-Абеля, а значит, по Теореме 3 исходный ряд сходится на .

 
Яндекс.Метрика
Наверх