§5. Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы первого рода

Рассмотрим плоскость XOY и кривую L на ней:

Опр.: Кривая L называется простой незамкнутой кривой, если различным значениям параметра T соответствуют различные точки кривой L.

Опр.: Кривая L называется простой замкнутой кривой, если точки .

Опр.: Кривая L Называется спрямляемой, если существует предел длин ломаных, вписанных в данную кривую при , где – длина наибольшего звена ломаной.

Пусть функция F(X, Y) Задана на кривой L, т. е. F(X, Y) Задана во всех точках плоскости, принадлежащих данной кривой.

Рассмотрим разбиение сегмента на N Элементарных сегментов.

Указанное разбиение влечет соответствующее разбиение кривой L На элементарные дуги

.

Составим интегральную сумму:

,

Где

Пусть

Опр.: Число I называется пределом интегральной суммы при , если такое, что для любого разбиения, удовлетворяющего условию , выполняется

Для любого выбора точек Nk на сегменте разбиения.

Если I существует, то он называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается

Или .

Замечание. Значение криволинейного интеграла I рода не зависит от «направления разбиения»: нумерация точек разбиения может идти как от A к B, так и наоборот.

Поэтому .

< Предыдущая		Следующая >