2.6.1. Предикаты. Основные понятия и определения

Рассмотрим высказывание: “X – простое число”. Подставляя вместо X конкретные числа: 3, 4, 5 и т. д., получим высказывания, которые в одних случаях будут истинными, а в других – ложными. Таким образом, данное высказывание определяет отображение, которое каждому натуральному числу X ставит в соответствие значение 0 ("ложь") или 1 ("истина").

Аналогично, высказывание “” определяет отображение R2®. Например, (1, 3) a 1, так как “1 < 3” – верное высказывание, а (4, 2) a 0, так как “4 < 2” – ложное высказывание.

Определение. N-местным предикатом на множестве M называется отображение . Множество M при этом называется Предметной областью предиката , а Xi (I = 1, 2, …, N) – Предметными переменными. Множество N-ок , для которых называется Областью истинности предиката P.

Например, областью истинности предиката P(X, Y) = , где X, Y Î R (предметная область – множество действительных чисел R), является множество точек , которые на координатной плоскости образуют параболу.

Определение. Предикат , который при всех возможных значениях предметных переменных принимает одно и то же значение 1 ( 0 ) называется Тождественно истинным (Тождественно ложным). Предикат, для которого существует набор , такой, что (т. е. множество истинности которого не пусто) называется Выполнимым.

Определение. Два предиката и с одной и той же предметной областью M называются равносильными, если они принимают одинаковые значения при всех возможных значениях предметных переменных (т. е., если P и Q равны как отображения).

Понятно, что два предиката равносильны, если их области истинности совпадают.

Всякому отображению можно поставить в соответствие (N+1)-местный предикат по следующему правилу:

P(A1, A2, …, An) =

Существует также взаимно однозначное соответствие между N-местными предикатами с предметной областью М и N-арными отношениями на М. Действительно, всякому предикату можно поставить в соответствие отношение , такое, что , если и только в этом случае. Обратно, всякому отношению отвечает N-местный предикат с предметной областью М, определяемый равенством:

P(A1, A2, …, An) =

Таким образом, предикаты выражают свойства элементов предметной области М или отношения на М (см. примеры, предваряющие определение предиката).

< Предыдущая		Следующая >