36. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами

Пусть даны два ряда и при UN, Vn ³ 0.

Теорема. Если Un £ Vn при любом N, то из сходимости ряда Следует сходимость ряда , а из расходимости ряда Следует расходимость ряда .

Доказательство. Обозначим через Sn И SN частные суммы рядов и . Т. к. по условию теоремы ряд Сходится, то его частные суммы ограничены, т. е. при всех N sn < M, где М – некоторое число. Но т. к. Un £ Vn, то Sn £ SN то частные суммы ряда Тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т. к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т. к. , а ряд сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если и существует предел , где H – число, отличное от нуля, то ряды и Ведут одинаково в смысле сходимости.

Яндекс.Метрика