20. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Решение дифференциального уравнения вида или, короче, будем искать в виде , где K = Const.

Т. к. то

При этом многочлен называется Характеристическим многочленом Дифференциального уравнения.

Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

т. е.

Т. к. Ekx ¹ 0, то - это уравнение называется Характеристическим уравнением.

Как и любое алгебраическое уравнение степени N, характеристическое уравнение имеет N Корней. Каждому корню характеристического уравнения Ki Соответствует решение дифференциального уравнения.

В зависимости от коэффициентов K характеристическое уравнение может иметь либо N различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a) каждому действительному корню соответствует решение Ekx;

Б) каждому действительному корню кратности M ставится в соответствие M решений:

В) каждой паре комплексно – сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

и .

Г) каждой паре M – кратных комплексно – сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие 2M решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример. Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение имеет вид:

Пример. Решить уравнение

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Таким частным решением будет являться функция

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

Общее решение имеет вид:

Окончательно:

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему не применим.

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки

Тогда

Окончательно получаем:

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение У1 = С1 получается из общего решения при С = 0.

Пример. Решить уравнение

Производим замену переменной:

Общее решение:

Яндекс.Метрика