7.3. Необходимый признак сходимости числового ряда

Теорема. Для сходимости любого числового ряда (1.1) необходимо, чтобы An ® 0 при N® ∞ , то есть чтобы .

Доказательство. Допустим, что ряд (1.1) сходится. Это значит, что существует и конечна его сумма S∞, которая определяется пределом (1.4). Учитывая, что , откуда следует, что , получаем:

То есть действительно An ® 0 при N ® ∞ . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что Если An не стремится к нулю при N® ∞, то ряд сходиться не может – он заведомо расходится.

Примечание. Условие An ® 0 при N® ∞ является необходимым, но не достаточным условием сходимости числового ряда (1.1). Это значит, что оно еще не гарантирует сходимости ряда. Иначе говоря, возможна ситуация, когда при An ® 0 при N® ∞ , и тем не менее ряд (1.1) расходится.

Классическим примером такого ряда является Гармонический ряд

(1.16)

Необходимое условие сходимости при N® ∞ для этого ряда очевидным образом выполняется. И тем не менее этот ряд расходится, так как его сумма S= ∞ .

Докажем это. Для этого рассмотрим рис. 7.1. На этом рисунке изображена бесконечно протяженная в горизонтальном направлении ступенчатая фигура, состоящая из заштрихованных прямоугольников, площади которых соответственно равны (…). То есть суммарная площадь S этой заштрихованной фигуры как раз равна сумме S гармонического ряда (1.16). Но эта площадь S заведомо больше площади S0 между осью Ох и гиперболой в пределах для Х от 1 до ¥. А

.

И так как S > S0 , то и S = ∞. Таким образом, гармонический ряд расходится, ибо его сумма S равна ∞:

(1.17)

< Предыдущая		Следующая >