1.3.7 Расстояние от точки до прямой

Для вычисления расстояния D от точки М(X0, Y0) до прямой Ах + Ву + С = 0 используется Формула

. (1.20)

Приведем пример ее применения.

Пример 1.16. Найти расстояние между прямыми (L1) 2Х + 3У – 1 = 0 и(L2) 4Х + 6У + 5 = 0.

Решение. Векторы нормали данных прямых и коллинеарны , т. е. прямые параллельны. Выберем на прямой L1 фиксированную точку М(–1, 1), координаты которой удовлетворяют уравнению прямой (рисунок 1.10).

Воспользуемся теперь формулой (1.20) и вычислим расстояние от точки М1 до прямой L2:

Найденное расстояние является расстоянием между параллельными прямыми L1 и L2.

Рисунок 1.10

Рисунок 1.11

Задачу вычисления расстояния от данной точки до данной прямой Можно решить и другим способом, используя уже полученные знания.

Пусть дана точка М(–1, 1) и прямая 3Х – 4У + 12 = 0. Необходимо найти расстояние от этой точки до прямой ЕF. Расстояние D от точки М до прямой EF равно длине перпендикуляра MN, опущенного из М на ЕF (рисунок 1.11).

Запишем алгоритм решения этой задачи.

1. Найдем угловой коэффициент К1 прямой EF, для этого разрешим уравнение прямой ЕF относительно У:

(1.21)

.

2. Используя условие перпендикулярности двух прямых, найдем угловой коэффициент K2 перпендикуляра MN:

Или , отсюда .

3. Теперь напишем уравнение прямой MN, проходящей через точку М(–1, 1) с угловым коэффициентом .

Или

(1.22)

4. Вычислим координаты точки N – точки пересечения прямой ЕF с перпендикуляром MN. Координаты этой точки удовлетворяют уравнениям (1.21) и (1.22), мы их получим, решив совместно эти уравнения. Приравняем правые части этих уравнений:

И вычислим отсюда абсциссу Х Точки N

или , откуда .

Подставив найденное значение, например, в уравнение (1.21), вычислим ординату точки N:

или , откуда .

Итак, точка N имеет координаты .

5. Найдем теперь расстояние между точками М и N:

.

Конечно, использованный выше алгоритм является достаточно громоздким. Он был приведен для того и продемонстрирован для того, чтобы показать различные способы решения задач такого типа.

Эту задачу можно легко решить, используя общую формулу вычисления расстояния D от точки М(Х0, У0) до прямой Ax + By + C = 0, которая была рассмотрена выше и имеет вид

(1.23)

Для нашей задачи мы получим

.

Разумеется, результаты, полученные различными способами, совпадают.

Яндекс.Метрика