4.1.2. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Как известно, функцию F(T) при условии существования ее производных по порядок N+1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Запишем эту формулу в дифференциальной форме:

В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных F(X, Y), имеющую в окрестности точки (Х0 , у0) непрерывные производные по (N + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам Х И У некоторые приращения DХ и DУ и рассмотрим новую независимую переменную T:

Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (Х0 ,у0) и (Х0+DХ, у0+DУ). Тогда вместо приращения DF(X0,Y0) можно рассматривать приращение вспомогательной функции

F(T) = F(X0+T DX, Y0+TDY),

Равное DF(0) = F(1) – F(0). Но F (T) является функцией одной переменной T, следовательно, к ней применима формула, приведенная в начале раздела. Получаем:

Отметим, что при Линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть

Подставив эти выражения в предыдущую формулу, получим Формулу Тейлора для функции двух переменных:

Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:

< Предыдущая		Следующая >