08.1. Исследование функций, заданных параметрическими уравнениями

Параметрические уравнения плоской кривой имеют вид

, , . (8.1)

Исследование и построение такой кривой можно провести по следующей схеме:

1) найти множество – общую часть областей определения функций , (если множество не задано). При этом необходимо отметить те значения параметра (включая ), для которых хотя бы один из односторонних , равен или ;

2) установить, обладает ли кривая симметрией, позволяющей сократить выкладки;

3) найти нули функций , и области знакопостоянства этих функций;

4) найти точки , в которых хотя бы одна из производных , равна нулю или разрывна. Заметим, что точки отмеченные в п. 1) и точки , найденные в этом пункте, разбивают множество на промежутки знакопостоянства производных , . Поэтому на каждом таком промежутке функция строго монотонна. Следовательно, система уравнений (8.1) на интервале задает параметрически функцию вида . Производные этой функции выражаются по формулам

, .

Часть кривой, соответствующую изменению параметра от до называется Ветвью Кривой. Каждая ветвь кривой является графиком функции вида ;

5) найти точки , в которых ;

6) результаты исследования занести в таблицу, аналогичную таблице 8.1.

Таблица 8.1 – Результаты исследования графика функции, заданной параметрическими уравнениями

		…
		…
		…
Знак		…

Здесь в первой строке записываются промежутки изменения параметра , граничными точками которых и служат точки, найденные в п. 1), 4) и 5). Во второй и третьей строках таблицы приводятся соответствующие промежутки изменения переменных и . В последней строке таблицы указывается знак, определяющий направление выпуклости графика соответствующей ветви кривой;

7) пользуясь таблицей, построить ветви кривой, соответствующие промежуткам .

Замечания. 1 В п. 1) схемы можно найти асимптоты кривой (если они имеются). Для этого надо иметь в виду следующее:

А) если при ( или ) , a , то – вертикальная асимптота кривой;

Б) если при ( или ) , a , то – горизонтальная асимптота кривой;

В) если при ( или ) и , то возможна наклонная асимптота, нахождение которой надо провести в соответствии с теоремой 4 практического занятия 7.

2 Вместо всей области определения рассматривается только ее неотрицательная часть в следующих случаях:

– , (симметрия относительно оси );

– , (симметрия относительно оси );

– , (симметрия относительно начала координат);

– , (наложение).

3 Если – точка, найденная в п. 4) схемы, и если на интервале производная Сохраняет знак, то на этом интервале система уравнений (8.1) задает параметрически функцию вида , для которой точка является точкой возможного экстремума. Является ли точкой экстремума функции , можно определить, рассмотрев изменение на интервалах и .

< Предыдущая		Следующая >