33. Базис векторного геометрического пространства

1. Базис векторов прямой. Множество V1 векторов фиксированной прямой образует векторное пространство.

Теорема 1. Любой ненулевой вектор E прямой образует базис векторного пространства V1.

Доказательство. По свойству 3 § 2 вектор E образует линейно независимую систему. Пусть A € V1. Тогда по свойству линейной зависимости вектор A линейно выражается через вектор E. По определению 1 вектор E образует базис пространства V1.

Теорема 2. Векторы A И B Коллинеарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство. Пусть вектора A и B коллинеарны. Если A = 0, то по свойству 3 § 3 вектора A, B линейно зависимы. Если A ≠ 0, по теореме о линейной зависимости систем векторов вектор B линейно выражается через вектор A, и векторы A, B линейно зависимы.

Обратно, если векторы A, B линейно зависимы, то по свойству 1 § 3, один из этих векторов линейно выражается через другой и вектора a и B Коллинеарны.

Следствие 1. Векторы A И B Коллинеарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.

Векторы A И B Неколлинеарны тогда только тогда, когда они линейно независимы.

В силу предложений, полученных в предыдущем параграфе, получаем следующие следствия.

Следствие 2. Векторы A = (a1, a2,... ,aN), B = (b1, b2,... ,bN) Неколлинеарны тогда только тогда, когда ранг матрицы

, (12)

Составленной из координат векторов, равен 2. Векторы A И B Коллинеарны тогда и только когда ранг матрицы (12) равен 1.

Ранг матрицы (12) равен 1 тогда и только тогда, одна из строк матрицы получается из другой строки, умножением на одно и то же число. Поэтому получаем еще следующее утверждение.

Следствие 2. Векторы A = (a1, a2,... ,aN), B = (b1, b2,... ,bN) Неколлинеарны тогда только тогда, когда координаты векторов соответственно пропорциональны, т. е.

, (13)

Где предполагается, что числитель равен нулю, если знаменатель равен нулю.

< Предыдущая		Следующая >