Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Вариант № 25

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След., вектор .

Задача 2 Найти длину диагонали параллелограмма, построенного на векторах , если

Рассм. диагонали параллелограмма ;

Вычислим ;

;

Задача 3 Показать, что точки Являются вершинами параллелограмма и найти проекцию одной из диагоналей на большую сторону параллелограмма.

Рассм.

, след. - параллелограмм (так как две противоположные стороны параллельны и равны);

Рассм. Рассм. ; ,

След. - большая сторона параллелограмма ; рассм. диагональ ;

Вычислим Вычислим ;

.

Задача 4 Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна . Вычислить

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Треугольник построен на векторах Найти длину высоты , если векторы взаимно перпендикулярны и по модулю равны

Рассм. векторы рассм. ;

;

;

;

Задача 7 Найти координаты вершины тетраэдра, если известно, что она лежит на оси , объём тетраэдра равен , .

Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т. );

Рассм. в-ры: ;

Рассм. смешанное произв-е:

Рассм. объём тетраэдра : ; ; ;

; ; ; след., возможные положения искомой т.: ; .

Задача 8 В треугольнике известны координаты двух вершин: И точки пересечения медиан . Составить уравнение высоты треугольника, проведённой из вершины .

E

 

1) Определим координаты точки Как середины отрезка :;

2) Определим координаты вершины , используя равенство , где ;

Рассм.

;

3) составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. И рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. .

Задача 9 В параллелограмме известны уравнения сторон и координаты точки пересечения диагоналей Составить уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.

1) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

2) определим координаты точки из условия, что т. - середина отрезка :

;

3) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : ;

4) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку параллельно

Прямой ;

5) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

6) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

7) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : .

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Пусть - искомая плоскость; рассм. векторы ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 11 Составить уравнение прямой , которая, проходит через точку и пересекает две прямые и .

Рассм. направл. векторы прямых ;

Рассм. т.; рассм. векторы ;

Пусть - плоскость, в которой лежат прямые ; пусть - плоскость, в которой лежат прямые ; тогда искомая прямая есть линия пересечения плоскостей ;

;

;

В качестве направл. вектора прямой можно взять вектор ; выберем ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих через точку перпендикулярно прямой .

Запишем канонич. уравнения прямой в виде: ; её направл. вектор ;

Рассм. произв. прямую , удовлетв. условию задачи; рассм. произв. точку и её направл. вектор ; , т. е. ;

Плоскость и есть искомое геометрическое место.

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ;

;

;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ; вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

Находим теперь вектор-решение :

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений; объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в координатной форме:

общее решение системы имеет вид:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор - столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

- собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

Пусть , тогда , вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

 
Яндекс.Метрика
Наверх