Теория вероятности (5 задач)

Вариант 7.

Задача 1. Имеется 40 путевок, среди которых 15 на юг. Найти вероятность того, что из 10 взятых наугад 4 на юг.

Решение. Событие А – среди десяти взятых наугад путевок ровно 4 на юг.

Используя формулу классической вероятности

Где – число всевозможных исходов испытания,

– число исходов, благоприятствующих наступлению события А, получаем

Ответ: 0,285.

Задача 2. Известны вероятности независимых событий А, В, С:

Определить вероятность того, что: а) произойдут по крайне мере два из этих событий; б) произойдет не более одного события.

Решение. а) вероятность того, что произойдут по крайне мере два из этих событий:

Б) вероятность того, что произойдет не более одного события:

Ответ: а) 0,6; б) 0,4.

Задача 3. Вероятность того, что произойдет одно и только одно событие из двух 0,44. Какова вероятность второго события, если вероятность первого – 0,8.

Решение. Введем обозначения:

А – произошло первое событие;

В – произошло второе событие.

Из условия задачи и свойств вероятности, получаем:

Решая получившееся уравнение, находим искомую вероятность

Ответ: 0,6.

Решение.

Задача 4. В коробке было 9 белых и 6 черных шаров, два из которых потерялись. Первый наугад взятый шар оказался белым. Найти вероятность того, что потерялись два черных.

Решение. Пусть событие А – наугад взятый шар оказался белым.

Гипотезы:

потерялись два белых шара;

потерялись два черных шара;

потерялись один белый и один черный шары.

Вероятности гипотез равны соответственно:

Условные вероятности события А равны:

Тогда по формуле полной вероятности получаем:

Используя формулу Байеса, найдем вероятность того, что потерялись два черных шара:

Ответ: 0,165.

Задача 5. Из 18 стрелков пять попадают в цель с вероятностью Р1 = 0,8; семь с вероятностью Р2 = 0,7; четыре с Р3 = 0,6 и два с Р4 = 0,5. Наудачу выбранный стрелок промахнулся. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?

Решение. Пусть событие А – наудачу выбранный стрелок промахнулся.

Гипотезы:

стрелок принадлежал первой группе;

стрелок принадлежал второй группе;

стрелок принадлежал третьей группе;

стрелок принадлежал четвертой группе.