Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Линейная алгебра 1

PDF Печать E-mail

Решение

А)

Б) Найдём АВ

Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом.

Получаем: 1*2+2*5+(-1)*8

Вычисляем элемент новой матрицы (1,2): работаем с 1-ой строкой и с 2-м столбцом.

Получаем: 1*1+2*4+(-1)*7

Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.

Получаем: 3*2+4*5+3*8

Вычисляем элемент новой матрицы (2,2): работаем с 2-ой строкой и с 2-м столбцом.

Получаем: 3*1+4*4+3*7

В итоге получаем матрицу

AxB= =

Найдём ВА:

В итоге получаем матрицу

BxA = =

В)

Найдём

Главный определитель

∆=-1•(0•(-11)-(-1•0))-(-2•(1•(-11)-(-1•(-1))))+(-3•(1•0-0•(-1)))=-24

Определитель отличен от нуля, следовательно матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу .

Транспонированная матрица.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

, где Aij - алгебраические дополнения.

Найдем алгебраические дополнения.

∆1,1=(0•(-11)-0•(-1))=0

∆1,2=-(1•(-11)-(-1•(-1)))=12

∆1,3=(1•0-(-1•0))=0

∆2,1=-(-2•(-11)-0•(-3))=-22

∆2,2=(-1•(-11)-(-1•(-3)))=8

∆2,3=-(-1•0-(-1•(-2)))=2

∆3,1=(-2•(-1)-0•(-3))=2

∆3,2=-(-1•(-1)-1•(-3))=-4

∆3,3=(-1•0-1•(-2))=2

Обратная матрица.

Решение

1. Найдём определитель методом Гаусса:

Запишем матрицу в виде:

Работаем со столбцом №1

Умножим 3-ую строку на (k = 4 / 5 = 4/5) и добавим к 4-ой:

6

-5

8

4

9

7

5

2

5

5

3

7

0

12

-28/5

13/5

Умножим 2-ую строку на (k = -5 / 9 = -5/9) и добавим к 3-ой:

6

-5

8

4

9

7

5

2

0

10/9

2/9

53/9

0

12

-28/5

13/5

Умножим 1-ую строку на (k = -9 / 6 = -3/2) и добавим к 2-ой:

6

-5

8

4

0

29/2

-7

-4

0

10/9

2/9

53/9

0

12

-28/5

13/5

Работаем со столбцом №2

Умножим 3-ую строку на (k = -12 / 10/9 = -54/5) и добавим к 4-ой:

6

-5

8

4

0

29/2

-7

-4

0

10/9

2/9

53/9

0

0

-8

-61

Умножим 2-ую строку на (k = -10/9 / 29/2 = -20/261) и добавим к 3-ой:

6

-5

8

4

0

29/2

-7

-4

0

0

22/29

539/87

0

0

-8

-61

Работаем со столбцом №3

Умножим 3-ую строку на (k = 8 / 22/29 = 116/11) и добавим к 4-ой:

6

-5

8

4

0

29/2

-7

-4

0

0

22/29

539/87

0

0

0

13/3

Ранг матрицы равен r=4

Определитель матрицы ∆ = 6 • 29/2 • 22/29 • 13/3 = 286

2. Запишем матрицу в виде:

3

-12

21/5

15

1/3

-5/2

2/5

3/2

2/3

-9/2

4/5

5/2

-1/7

2/7

-1/7

3/7

Работаем со столбцом №1

Умножим 3-ую строку на (k = 1/7 / 2/3 = 3/14) и добавим к 4-ой:

3

-12

21/5

15

1/3

-5/2

2/5

3/2

2/3

-9/2

4/5

5/2

0

-19/28

1/35

27/28

Умножим 2-ую строку на (k = -2/3 / 1/3 = -2) и добавим к 3-ой:

3

-12

21/5

15

1/3

-5/2

2/5

3/2

0

1/2

0

-1/2

0

-19/28

1/35

27/28

Умножим 1-ую строку на (k = -1/3 / 3 = -1/9) и добавим к 2-ой:

3

-12

21/5

15

0

-7/6

-1/15

-1/6

0

1/2

0

-1/2

0

-19/28

1/35

27/28

Работаем со столбцом №2

Умножим 3-ую строку на (k = 19/28 / 1/2 = 19/14) и добавим к 4-ой:

3

-12

21/5

15

0

-7/6

-1/15

-1/6

0

1/2

0

-1/2

0

0

1/35

2/7

Умножим 2-ую строку на (k = 1/2 / 7/6 = 3/7) и добавим к 3-ой:

3

-12

21/5

15

0

-7/6

-1/15

-1/6

0

0

-1/35

-4/7

0

0

1/35

2/7

Работаем со столбцом №3

Добавим 4-ую строку к 3-ой:

3

-12

21/5

15

0

-7/6

-1/15

-1/6

0

0

-1/35

-4/7

0

0

0

-2/7

Ранг матрицы равен r=4

Определитель матрицы ∆ = 3 • (-7/6) • (-1/35) • (-2/7) = -1/35

Решение

1.  По формулам Крамера

Запишем систему в виде: , BT = (11,-20,-4)

Определитель:

∆ = 2 • (2 • 3-(-2) • (-5))-3 • (1 • 3-(-2) • 3)+5 • (1 • (-5)-2 • 3) = -90

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

11

1

3

-20

2

-5

-4

-2

3

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 11 • (2 • 3-(-2) • (-5))-(-20) • (1 • 3-(-2) • 3)+(-4) • (1 • (-5)-2 • 3) = 180

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

2

11

3

3

-20

-5

5

-4

3

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 2 • ((-20) • 3-(-4) • (-5))-3 • (11 • 3-(-4) • 3)+5 • (11 • (-5)-(-20) • 3) = -270

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

2

1

11

3

2

-20

5

-2

-4

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 2 • (2 • (-4)-(-2) • (-20))-3 • (1 • (-4)-(-2) • 11)+5 • (1 • (-20)-2 • 11) = -360

Выпишем отдельно найденные переменные Х

2.  Матричным способом

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B: BT=(11,-20,-4)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=2•(2•3-(-2•(-5)))-3•(1•3-(-2•3))+5•(1•(-5)-2•3)=-90

Итак, определитель -90 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

Тогда:

Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

Вычисляем алгебраические дополнения.

∆1,1=(2•3-(-5•(-2)))=-4

∆1,2=-(1•3-3•(-2))=-9

∆1,3=(1•(-5)-3•2)=-11

∆2,1=-(3•3-(-5•5))=-34

∆2,2=(2•3-3•5)=-9

∆2,3=-(2•(-5)-3•3)=19

∆3,1=(3•(-2)-2•5)=-16

∆3,2=-(2•(-2)-1•5)=9

∆3,3=(2•2-1•3)=1

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:

Вычислим обратную матрицу:

Вектор результатов X :X=A-1 • B

,, , XT=(-2,3,4)

X1=180 / -90=-2

X2=-270 / -90=3

X3=-360 / -90=4

Проверка.

2•-2+1•3+3•4=11

3•-2+2•3+-5•4=-20

5•-2+-2•3+3•4=-4

Ответ:

Решение

А) Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (5).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (5), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

X1

X2

X3

X4

B

5 / 5 = 1

6 / 5 = 1.2

3 / 5 = 0.6

2 / 5 = 0.4

3 / 5 = 0.6

Разрешающий элемент равен (0.6).

На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

X1

X2

X3

X4

B

0 / 0.6 = 0

0.6 / 0.6 = 1

-0.2 / 0.6 = -0.33

-0.8 / 0.6 = -1.33

-2.2 / 0.6 = -3.67

Разрешающий элемент равен (-1.67). Получим

Разрешающий элемент равен (1). Получим

. Тогда

X1 = -0.4

X2 = -1.2

X3 = 3.4

X4 = 1

Б) Запишем систему в виде:

1

1

3

-2

3

1

2

2

8

-3

9

2

2

2

4

-1

3

2

3

3

5

-2

3

1

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (1).

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

X1

X2

X3

X4

X5

B

1 / 1 = 1

1 / 1 = 1

3 / 1 = 3

-2 / 1 = -2

3 / 1 = 3

1 / 1 = 1

Или

1

1

3

-2

3

1

0

0

2

1

3

0

0

0

-2

3

-3

0

0

0

-4

4

-6

-2

Разрешающий элемент равен (-2). Получим

1

1

0

2.5

-1.5

1

0

0

0

4

0

0

0

0

1

-1.5

1.5

0

0

0

0

-2

0

-2

Разрешающий элемент равен (-2). Получим

1

1

0

0

-1.5

-1.5

0

0

0

0

0

-4

0

0

1

0

1.5

1.5

0

0

0

1

0

1

Теперь исходную систему можно записать как:

X1 = -1.5 - x2 - 1.5x5

X2 = -4

X3 = 1.5 - 1.5x5

X4 = 1

Необходимо переменные x4,x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Приравняем переменные x4,x5 к 0

X1 = -1.5

X3 = 1.5

X4 = 1

Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.

В) Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.

Разрешающий элемент равен (4). Получим

Разрешающий элемент равен (0.25). Получим

Разрешающий элемент равен (-1). . Получим

X1 = 89

X2 = 112

X4 = 12

Решение

Очевидно, что эта система векторов является линейно зависимой, так как количество векторов в системе равно 4, а сами векторы тримерные.

Составим матрицу A, строками которой будут векторы исследуемой системы.

Задача исследования системы векторов на линейную зависимость сводится к задаче нахождения ранга матрицы, составленной из векторов этой системы.

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (-11). Умножим 3-ую строку на (5). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 3-ую строку на (-65). Умножим 4-ую строку на (11). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Умножим 1-ую строку на (-114). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (136). Умножим 3-ую строку на (57). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (-22). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.

Следовательно, данная система векторов линейно зависима.

Решение

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему: линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Посчитаем определитель:

∆ = 7 • (0 • 4-(-3) • (-8))-(-5) • ((-4) • 4-(-3) • 0)+0 • ((-4) • (-8)-0 • 0) = -248

Найдём координаты вектора В базисе , , :

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

2

-4

0

-5

0

-8

4

-3

4

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 2 • (0 • 4-(-3) • (-8))-(-5) • ((-4) • 4-(-3) • 0)+4 • ((-4) • (-8)-0 • 0) = 0

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

7

2

0

-5

-5

-8

0

4

4

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 7 • ((-5) • 4-4 • (-8))-(-5) • (2 • 4-4 • 0)+0 • (2 • (-8)-(-5) • 0) = 124

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

7

-4

2

-5

0

-5

0

-3

4

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 = (-1)1 + 1a11∆11 + (-1)2 + 1a21∆21 + (-1)3 + 1a31∆31 = 7 • (0 • 4-(-3) • (-5))-(-5) • ((-4) • 4-(-3) • 2)+0 • ((-4) • (-5)-0 • 2) = -155

Выпишем отдельно найденные переменные Х

Итого, координаты вектора В базисе , , : { 0, , }.

Ответ: { 0, , }.

Решение

Исходная матрица имеет вид:

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(1 - λ)x1 + 2x2-1x3 = 0

3x1 + (4 - λ)x2 + 3x3 = 0

5x1 + 6x2 + (-5 - λ)x3 = 0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.

(1 - λ) • ((4 - λ) • (-5 - λ)-6 • 3)-3 • (2 • (-5 - λ)-6 • (-1))+5 • (2 • 3-(4 - λ) • (-1)) = 0

После преобразований, получаем:

-λ3+40•λ+24 = 0

λ1 = -6

Подставляя λ1 = -6 в систему, имеем: или

Решаем эту систему линейных однородных уравнений

Выпишем основную матрицу системы:

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-3). Умножим 2-ую строку на (7). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (-5). Умножим 3-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

Найдем ранг матрицы.

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - 32x2 = 12x3

5x1 + 6x2 = - x3

Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:

X2 = - 3/8x3

X1 = 1/4x3

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = -6, имеет вид:

Где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1:

λ2 =

Подставляя λ2 = В систему, имеем:

Решая данную систему получим собственный вектор

λ3 =

Подставляя λ3 = В систему, имеем:

Решая данную систему получим собственный вектор

Решение

А) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AC

Каноническое уравнение прямой: или или y = 15x -9 или y -15x +9 = 0

Б) Уравнение высоты через вершину B

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой

Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину B: , y = -1/15x + 10/3 или

15y +x -50 = 0

В) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A

Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(0;-9) и прямой BC (4y + 3x - 27 = 0)

,

Г) Найдем биссектрису угла B. Точку пересечения биссектрисы со стороной AC обозначим М.

Воспользуемся формулой:

Уравнение AB: 5y -12x +45 = 0, уравнение BC: 4y + 3x - 27 = 0

∟ B ≈ 104.250 или 1,82 рад

Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NBK ≈ 52.10

Тангенс угла наклона AB равен 12/5 (т. к. y = 12/5x -9). Угол наклона равен 67.380

∟ NKB≈ 1800 - 67.380 = 112.620

∟ BNK ≈ 1800 - (112.620 + 52.130) ≈ 15.260

Tg(15.30) = 0.3

Биссектриса проходит через точку B(5,3), используя формулу, имеем:

Y - y0 = k(x - x0)

Y - 3 = 0.3(x - 5) или y = 0.3x + 1.6

Решение

Координаты векторов

Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

Здесь X, Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Например, для вектора A1A2

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = 5-3; Y = 0-1; Z = -1-2

A1A2(2;-1;-3)

A1A3(-3;2;4)

Модули векторов (длина ребер пирамиды)

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

Б) Угол между ребрами

Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

Найдем угол между ребрами A1A2(2;-1;-3) и A1A3(-3;2;4):

, γ = arccos(0.993) = 173.0230

В) Площадь грани

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i((-1) • 4-2 • (-3)) - j(2 • 4-(-3) • (-3)) + k(2 • 2-(-3) • (-1)) = 2i + j + k

Г) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4(3,7,10)

Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдём уравнение плоскости A1A2A3.

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A1A2A3

(x-3)((-1) • 4-2 • (-3)) - (y-1)(2 • 4-(-3) • (-3)) + (z-2)(2 • 2-(-3) • (-1)) = 2x + y + z-9 = 0

Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + y + z-9 = 0

Тогда:

,

Д) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(3,7,10)

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + y + z-9 = 0

,

Е) Объем пирамиды

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим Определитель матрицы

∆ = 2 • (2 • 8-6 • 4)-(-3) • ((-1) • 8-6 • (-3))+0 • ((-1) • 4-2 • (-3)) = 14

Решение

Уравнение плоскости.

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC:

(x-2)((-5) • 5-(-1) • 6) - (y-0)(0 • 5-1 • 6) + (z+3)(0 • (-1)-1 • (-5)) = -19x + 6y + 5z + 53 = 0

-19x + 6y + 5z + 53 = 0

Ответ: -19x + 6y + 5z + 53 = 0

Решение

Пусть точка М(x;y) принадлежит искомой прямой. Расстояние между точками О и М равно:

.

Расстояние от точки М до прямой х+6=0 равно d=х-(-6)=х+6.

По условию задачи d=ОМ. Подставляя, получаем:

Возводим в квадрат и упрощаем:

Данная кривая – парабола.

Ответ:

Решение

Уравнение параболы, симметричной относительно оси OY, с вершиной в начале координат имеет вид: x2=2py, где р – параметр параболы

Поставляя координаты точки А (х=4, y=8), в данное уравнение, определяем параметр р:

42=2p8

16=16р

Р=1

Следовательно, уравнение параболы будет иметь вид: x2=2y.

Ответ: x2=2y

 
Яндекс.Метрика
Наверх