Контрольная работа по мат. анализу 32
1. Найти пределы функции.
1) при A) , B) , C) ;
2) 3) ;
1)
2)
3) ;
Использовали при
2. Найти производные заданных функций.
А) ; Б) В) Г) .
А) ;
Б)
В)
Г) .
3. Вычислить приближенное значение , заменив в точке приращение функции дифференциалом
Решение
Требуется вычислить значение функции одной переменной при Х = 605.
Пусть .
Применим формулу
Тогда
4.Исследовать функцию и построить ее график
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения:
Найдём первую производную:
===
==
Первая производная:
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
, ,
,
;
Критические точки:
Найдём вторую производную:
Вторая производная это производная от первой производной.
==
===
==
Вторая производная:
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
- нет решений.
Возможные точки перегиба: нет
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. , ,
, ;
Точки пересечения с осью :
Точки пересечения с осью :
Пусть,
Вертикальные асимптоты: х=-3
Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль х+3=0, х=-3
Горизонтальные асимптоты: нет.
Наклонные асимптоты: .
Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. ==
Предел разности исходной функции и функции 4х-24 на бесконечности равен нулю.
Точки разрыва: х=-3
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум .
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум .
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
5.Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием А) ; Б) ;
Решение
А) ;
Проверка - верно
Б) ;
Проверка
верно
6.Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .
Решение
7.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж.
Решение
Изобразим область, площадь которой нужно найти:
- парабола, ветви вниз, центр т. (-3,4)
- прямая
По формуле
Найдём абсциссы точек пересечения данных линий:
Тогда, в нашем случае , , , получим
Ответ: (кв. ед.)
8. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны AB; 2) внутренний угол A; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину C; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) площадь треугольника АВС. А (1;6), В (7;4), С (4;5)
Решение
1) длину стороны AB;
Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi ,
Здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1 , X = 7-1 = 6; Y = 4-6 = -2 , AB(6;-2)
Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:
2) внутренний угол A;
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
, где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между векторами AB(6;-2) и AC(3;-1)
3) уравнение высоты, проведенной через вершину C;
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой:
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
4) уравнение медианы, проведенной через вершину С;
Обозначим середину стороны AB буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
Уравнение медианы CM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана CМ проходит через точки C(4;5) и М(4;5), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:
5) площадь треугольника АВС.
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
9.Решить систему линейных уравнений матричным способом
Решение
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B: BT=(6,9,10)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель. ∆=1•(1•2-5•4)-4•(2•2-5•3)+3•(2•4-1•3)=41
Итак, определитель 41 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:
Тогда:
Где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) N-1 порядка, полученный вычеркиванием I-й строки и J-го столбца в определителе матрицы А.
Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X X=A-1 • B
, ,, XT=(1,1,1)
X1=41 / 41=1 , x2=41 / 41=1 , x3=41 / 41=1
Ответ: x1=1 , x2=1 , x3=1
< Предыдущая | Следующая > |
---|