Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home

Исследование функций

PDF Печать E-mail

Решение типового варианта контрольной работы. Исследование функций.

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т. е. точки в которых производная равна нулю или не существует):

при и

Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка

Выберем из предложенных значений наибольшее и наименьшее.

Итак, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 2 и достигается при , , а наименьшее значение равно -18 при ,

Пример 2.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

Общая схема исследования функций:

1.  Найти область определения функции.

2.  Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.

3.  Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

4.  Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

5.  Найти наклонные асимптоты графика функции.

6.  Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

7.  Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

8.  Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

1. Функция не определена, если

Область определения:

2. Т. к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т. к. пределы равны Значит точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

1.  Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

1.  Область определения симметрична относительно начала координат

2. 

Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т. е. общего вида.

Функция не является периодической

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем промежутки знакопостоянства функции

5. Найдем наклонные асимптоты где

Для k и b вычисляются аналогично

6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале.

Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.

Найдем все точки из области определения функции , в которых производная обращается в ноль или не существует.

Составим таблицу

-2

1

7

+

0

+

Не существует

-

0

+

0

Не существует

 

Возрастает

 

Возрастает

 

Убывает

Min

Возрастает

Функция возрастает на интервалах , , и убывает на интервале . Точка есть точка минимума

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Напомним, что график функции называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Перегиб возможен в точках, в которых равна нулю или не существует. Если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале, если же , то на интервале график вогнутый .

Найдем точки перегиба

Составим таблицу

-2

1

-

0

+

Не существует

+

0

Не существует

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

8. Построим график функции, используя результаты исследования.

Замечание:

При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.

 
Яндекс.Метрика
Наверх