Элементы теории множеств и теории нечётких множеств

Задание 1. На универсальном множестве заданы нечёткие множества и :

Найти нечёткие множества , .

Решение. По определению объединением нечётких множеств и называется наименьшее нечёткое множество , которое содержит как , так и , и Тогда

.

Пересечением нечётких множеств и называется наибольшее нечёткое множество , содержащееся одновременно в и , и Следовательно,

.

Разностью нечётких множеств и называется нечёткое множество, которое определяется соотношением . Определим сначала множество :

.

Так как , то

.

Ответ: ,

,

.

Задание 2. На универсальном множестве заданы нечёткие множества и :

Найти .

Решение. Нечёткое множество называется дизъюнктивной суммой нечётких множеств и и определяется соотношением

.

Найдём множества и :

,

.

Пользуясь определением операции пересечения нечётких множеств, найдём нечёткие множества и :

.

Окончательно получаем, что

.

Ответ: .

Задание 3. На универсальном множестве заданы нечёткие множества

И .

Проверить, какое из включений истинно: 1) ; 2) .

Решение.

1)  Нечёткое множество содержит нечёткое множество , если . Данное условие не выполняется.

2)  Нечёткое множество содержит нечёткое множество , если . Данное условие выполняется.

Ответ: 1) нет; 2) да.

Задание 4. Найти для заданного нечёткого множества ближайшее к нему обычное множество , евклидово расстояние и расстояние Хэмминга между этими множествами, а также относительные величины этих расстояний.

Решение. Функция принадлежности элемента универсального множества к множеству рассчитывается по правилу:

Очевидно, .

Вычислим евклидово расстояние и расстояние Хэмминга между множествами и :

,

,

Тогда относительное евклидово расстояние и относительное расстояние Хэмминга, соответственно, равны:

и .

Ответ: ;

; ; ; .

Задание 5. На универсальном множестве заданы нечёткие множества

и

.

Найти нечёткие множества: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) найти евклидово расстояние и расстояние Хэмминга между множествами и ; 6) найти относительные евклидово и Хэмминга расстояния между этими множествами.

Решение.

1)  Нечёткое множество :

.

2)  Нечёткое множество :

.

3)  Нечёткое множество :

.

4)  По определению . Тогда

.

5)  Евклидово расстояние между множествами и :

.

Расстояние Хэмминга между множествами и :

.

6)  Относительное евклидово расстояние:

.

Относительное расстояние Хэмминга:

.

Ответ:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , ;

6) , .