4.3. Метод простых итераций

Рассмотрим особенности решения СЛУ методом простых итераций на примере.

Пример 4.3. Требуется найти решение системы с точностью ε=0,001.

x1 + 5×x2 - x3 = 2

x1 2×x3 = -1

2×x1 - x2 – 3×x3 = 5

Приведем систему к новому, Каноническому виду метода простых итераций. Для этого нужно преобразовать исходную систему так, чтобы в каждой строке новой матрицы А коэффициент, расположенный на главной диагонали, превышал по абсолютной величине сумму абсолютных значений остальных коэффициенты в этой сроке.

При выполнении эквивалентных линейных преобразований системы нужно соблюдать следующие требование: каждое уравнение исходной системы должно участвовать хотя бы в одном преобразовании.

В первом уравнении исходной системы коэффициент при х2 больше суммы модулей других коэффициентов: 5> 1+1. Поэтому это уравнение в новой системе нужно записать вторым уравнением. Для получения нового первого уравнения можно второе уравнение умножить на 2 и сложить с третьим уравнением. Для получения нового третьего уравнения можно из третьего уравнения вычесть второе.

В итоге описанных преобразований получиться следующая система:

Важно отметить, что подобные преобразования не меняют решения системы.

Выразим явно из каждого Нового уравнения очередное неизвестное – получим формулы итерационного процесса.

Возьмем Любое начальное приближение , например .

Вычислим новое приближение решения , подставив в правую часть начальное приближение:

Оценим достигнутую точность δ по формуле:

Итерационный процесс нужно продолжить, т. к. δ > ε.

Вычислим второе приближение , подставив в правую часть первое приближение:

Третье приближение:

Четвертое приближение:

Очевидно, что итерационный процесс сходиться, т. к. значение δ монотонно убывает. Для достижения требуемой точности ε=0,001 потребуется еще несколько итераций.

Скорость сходимости зависит от уровня преобладания значений диагональных коэффициентов.

Основные расчетные зависимости метода простых итераций:

Формула итерационного процесса:

, (4.6)

Где: k = 1, 2, … – номер приближения.

– начальное приближение, ;

Условия завершения итерационного процесса:

D£e (4.7)

Где e – требуемая точность;

D – оценка достигнутой точности, (4.8)

Или (4.9)

Условие сходимости итерационного процесса (условие преобладания диагональных коэффициентов):

(4.10)

Схема алгоритма метода представлена на рис. 4.7.

Если в полученных результатах значения δ > e и k > kmax, то задача не решена, т. е. x(1:n) не является решением системы. Необходимо проверить условия сходимости или увеличить kmax.

< Предыдущая		Следующая >