7. Хорошо и плохо обусловленные системы

Существующие системы бывают плохо обусловленными и хорошо обусловленными.

Следует учитывать, как сильно могут повлиять погрешности округления на погрешность результата, какие свойства матрицы определяют ее «чувствительность» к погрешностям округления.

Существуют системы очень чувствительные к изменениям, проведенным в правой части уравнения системы. Рассмотрим два примера

Пример № 4 . Имеем систему

Решением системы является вектор x = (1,1).

Пример № 5. Имеем систему, отличную от системы примера № 4 изменением в правой части пятой значащей цифры:

Решением этой системы является вектор x = (0,2).

Из этих примеров можно сделать вывод, что изменение в правой части пятой значащей цифры повлекло изменение решения.

Заметим, что в обоих примерах определитель матрицы системы мал, и, по-видимому, система почти вырождена.

Таким образом, можно сделать вывод, что если Ах=b − совместная система с detA¹0 и матрица А почти вырождена, то малые изменения элементов системы могут привести к новой системе с det = 0, которая может оказаться несовместной, т. е. не иметь ни одного решения или иметь бесчисленное множество решений. Этот общеизвестный факт и рассмотренные примеры позволяют сделать вывод, что если матрица системы «почти вырождена», то ошибки округления могут привести к неверному результату. В таком случае нужно уметь заранее определить меру «близости» матрицы системы к множеству вырожденных матриц.

Мерой близости матрицы А к вырожденной является величина cond(A) − ­число обусловленности, которое вычисляется по формуле cond(A)=, где − норма матрицы А, а − норма обратной матрицы. (Порядок нахождения нормы матрицы приведен в [6]. Причем, чем больше величина cond(A), тем ближе матрица А к вырожденной.

Системы с большим числом обусловленности называют плохо обусловленными. Не существует численного метода, с помощью которого можно было бы устранить чувствительность плохо обусловленной системы к возмущениям элементов матрицы и правой части. Решение линейных систем с плохо обусловленными матрицами может оказаться некорректной задачей.

Проверить чувствительность решения системы к погрешностям можно и экспериментально. Для этого достаточно решить задачу несколько раз с несколькими близкими к bi правыми частями [3].

< Предыдущая		Следующая >