15.09. Кривизна плоской кривой

 

Рассмотрим плоскую линию, определяемую уравнением у = /(х). Проведем касательную к этой линии в ее точке М0(х0, у0); обозначим через а угол, образо-

Кривизной линии в данной точке М0 называется предел средней кривизны дуги

М0М при М -» М0\

А /м

(15.9)

 

Отметим, что для прямой к = 0, а для окружности радиуса К кривизна к = = 1/К.

Кривизна линии, заданной уравнением у= Дх), в точке Л/0(*о, у0) вычисляется по формулам

(15.11)

 

(15.12)

Ванный касательной с осью Ох (рис. 15.13). Пусть касательная в точке М образует с осью Ох угол а + Да.

Угол Да между касательными в указанных точках называют углом смежности. Можно сказать, что при переходе из точки М0 в точку М данной линии касательная к ней повернулась на угол Да, которому будем приписывать соответствующий знак в зависимости от направления поворота.

П

Средней кривизной дуги М0М данной линии называется абсолютное значе-

П

Нйе отношения угла смежности Да к длине А1 дуги М0М:

Да

 

ОяуыгР - ~~  (1510>

Если линия задана параметрическими уравнениями х = х (I), у = у ((), то с учетом (14.2р) и (14.22) формула (15.10) принимает вид

_ \х'у"-х"у'\

{х’2+у'2)^'

Кривизна линии, заданной уравнением р = р (ф) в полярных координатах, вычисляется по формуле

I о - - О  „I

-рр

 

(Р'2+Р2)*2

Пример 15.16. Найти кривизну косинусоиды у = соз* в точке М0(0,1). Поскольку у' = -8ШХ, у" = - соях, кривизна косинусоиды в ее произвольной точке определяется формулой

|-со8х|

При х = 0 получаем к = 1/(1+0)у2 = 1.

 

< Предыдущая		Следующая >