12.12. Представления групп

С точки зрения алгебры изоморфные группы не считаются различными, группе, изоморфной некоторой подгруппе группы подстановок, говорят, что она представлена подстановками.

Теорема 12.5. (Кэли). Каждая конечная группа изоморфна. некоторой группе подстановок (т. е. всякую конечную группу можно представить подстановками).

Следовательно, при описании любой конечной группы можно воспользоваться преимуществами группы подстановок.

Для теории и приложений наиболее интересны линейные представления конечных групп. Говоря о линейном представлении конечной группы предполагают, что дано векторное пространство, в котором действуют линейные невырожденные преобразования. Эти преобразования образуют группу, которой гомоморфна исходная группа; при этом говорят, что группаПредставляет группу

Гомоморфное отображениеГруппыВ группуНевырожденных линейных преобразований-мерного векторного пространстваНазывается линейным представлением группы

Следовательно, если- линейное представление группыГруппой, то каждому элементуПоставлено в соответствие невырожденное линейное

ПреобразованиеПространстваТак, что для любыхСпра

Ведливо соотношение. Как известно, при этомГде

Е,- нейтральные элементы группСоответственно, и

Для любого

Пространство, в котором действуют преобразования из группы, называется пространством представления группы. Размерность пространства называют размерностью (или степенью) рассматриваемого представления.

Вместо линейных преобразований часто рассматривают соответствующие им матрицы.

Ill

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Глава 13

ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

< Предыдущая		Следующая >