11.7. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости

Фигурой второго порядка на плоскости называется множество точек этой плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени

(11.12)

ГдеОдновременно в нуль не обращаются. Отметим, что это множест

Во, в частности, может состоять из единственной точки или оказаться пустым.

Первые три члена левой части уравнения (11.12) образуют квадратичную форму двух переменных

(11.13)

С симметрической матрицей

(11.14)

По теореме 11.10 эту квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду

(11.15)

С матрицей

(11.16)

Где- характеристические числа матрицы, т. е. корни характеристиче

Ского уравнения матрицы:

При этом ортогональном преобразовании уравнение (11.12) примет ввд

(11.17)

(11.18)

Это уравнение можно привести к каноническому виду путем выделения в левой части полных квадратов.

Фигуру второго порядка, определяемую уравнением (11.12), называют центральной, еслиИ нецентральной, когда

Отметим, что при ортогональном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняется, т. е.Так как

(см. (11.16)), то

(11.19)

Пусть уравнение (11.18) определяет центральную фигуру, т. е.Здесь

Возможны два случая:(числаОдного знака), фигура называ

Ется фигурой эллиптического типа;(числаИмеют разные

Знаки), фигура называется фигурой гиперболического типа.

ЕслиТо уравнение (11.18), выделив в его левой части полные квадра

Ты, можно привести к виду

Или

(11.20)

Где

(11.21)

Формулы (11.21) выражают зависимость между координатами при параллельном переносе координатных осей в точку

В случаеУравнение (11.20) приводится к одному из канонических видов

(11.22)

(11.23)

(11.24)

В зависимости от знаковИ

Уравнение (11.22) определяет эллипс, уравнению (11.23) не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, уравнению (11.24) удовлетворяют координаты одной точки

В случаеУравнение (11.20) приводится к одному из канонических видов

(11.25)

(11.26) (11.27)

В зависимости от знаков

Уравнение (11.25) определяет гиперболу с действительной осью, уравнение (11.26) — гиперболу с действительной осьюУравнение (11.27) - пару пересекающихся прямых, так как оно распадается на два уравнения

Или

Обратимся к нецентральным фигурам, т. е. к случаю когдаВ силу

(11.19) из равенстваСледует, чтоПоследнее равенство означа

Ет, что одно из чиселРавно нулю (оба числаВ нуль обратиться не

Могут, так как это означало бы, что квадратичная форма (11.15) является вырожденной, чего быть не может, поскольку). ЕслиТо уравнение (11.18) можно привести к видуИ записать так:

(11.28)

Осуществим параллельный перенос репераНа вектор

Получим новую систему координат, причемОпределяются формулами (11.21). Уравнение (11.28) приведем к виду

(11.29)

Уравнение (11.29) определяет параболу с осью

Если в уравнении (11.18)То, выделив полный квадрат, его

Можно записать так:

(11.30)

Осуществив параллельный перенос репераНа вектор

Т. е. выполнив преобразованиеПолучим новую систему коор

Динат О, АТ, в которой уравнение (11.30) принимает один из видов:

(11.31)

В зависимости от соотношения знаков чиЬелИПер

Вое из уравнений (11.31) определяет пару параллельных прямых второму уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, третье уравнение определяет пару совпавших прямых

Операция перехода от уравнения (11.12) к уравнению (11.18) называется отнесением фигуры к главным осям. Новые оси координат параллельны осям симметрии фигуры. Главными направлениями фигуры, заданной уравнением (11.12), называют направления ортогональных собственных векторов матрицы квадратичной формы, соответствующей этому уравнению.

Из теорем п. 11.6 следует, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение (11.12) принимает канонический вид. Чтобы выбрать эту систему координат, необходимо сделать следующее.

1. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму, соответствующую данному уравнению.

2. С помощью этого преобразования определить главные направления фигуры, т. е. векторы- ортонормированные собственные векторы матрицы указанной квадратичной формы.