18.3.3. Линейная регрессия

Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Х и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возмож­ным приближенное представление величины Y в виде линей­ной функции величины X:

Где А и B — параметры, подлежащие определению. Обычно эти величины определяются с помощью метода наименьших квад­ратов (см. п. 8.5).

Определение 5. Функция (18.27) называется Наилучшим при­ближением в смысле метода наименьших квадратов, если ма­тематическое ожидание M[Y — g(Х)]2 принимает наименьшее возможное значение. Функцию G(х) называют Среднеквадратической регрессией Y на X.

ТЕОРЕМА 4. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид

Где rxy определяется формулой (18.25), ту = M(Y) и mx = М(Х) — математические ожидания соответственно случайных величин Y и X.

Коэффициент B = RxУσУ / σx называют Коэффициентом ре­грессии Y на Х, а прямую

Реализующую линейную зависимость (18.28) случайной вели­чины Y от случайной величины X, называют Прямой среднеквадратической регрессии Х на Y. Поскольку зависимость (18.28) является приближенной, то существует погрешность этого приближения, называемая Остаточной дисперсией:

Аналогичную форму записи имеет прямая среднеквадратическая регрессия Х на Y:

Пример 3. Найти линейную среднюю квадратическую регрес­сию и остаточную дисперсию случайной величины Y на слу­чайную величину Х по данным примеров 1 и 2.

Решение. Для двумерной случайной величины (X, Y), Приведенной в примере 1, все необходимые числовые характе­ристики указаны в решении примера 2: Mx = 2,03, Ту = 1,63, Rху = -0,023, σx = = 0,793, σy = = 0,483. Из уравнения (18.28) получаем искомое соотношение:

Остаточная дисперсия рассчитывается по формуле (18.29):

Для оценки среднеквадратичной погрешности линейной ре­грессии обычно используют величину ε, в нашем случае она составляет

< Предыдущая		Следующая >