03.9.2. Линии первого порядка

К линиям первого порядка относятся те линии, для кото­рых задающее их уравнение (3.9) содержит переменные X и у только в первой степени. Иными словами, такие линии описы­ваются уравнениями вида

Где А, В и С — постоянные числа. Из этого уравнения можно выразить переменную У как функцию от аргумента Х При В ≠ 0:

Уравнение (3.11) называют Уравнением прямой с угловым ко­эффициентом K = tg φ, где φ — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох (рис. 3.9). Если K = 0, то прямая параллельна оси Ох и отстоит от нее на B масштабных единиц.

Рис. 3.9

Определим самые необходимые элементы знания о прямых на плоскости.

1. Кроме "классического" уравнения прямой (3.11) следует знать еще две его разновидности. Первая из них — это уравне­ние прямой с заданным угловым коэффициентом K, проходящей через заданную точку М0(X0, У0):

Другой вид — это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости M1(X1, Y1) и М2(х2, у2):

2. Угол между прямыми. Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями У = K1X + B1 и У = K2X + B2, где K1 = tg φ1 И K2 = tg φ2 (рис. 3.10). Пусть φ — угол между этими прямы­ми. Тогда φ = φ2 — φ1 и мы получаем tg φ = tg (φ2 — φ1) = Или, что то же самое,

Рис. 3.10

Формула (3.12) определяет один из углов между пересекающи­мися прямыми; второй угол равен π - φ.

Из равенства (3.12) вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых. В самом деле, если прямые па­раллельны, то

Если прямые перпендикулярны, то α2 = π/2 + α1, откуда tg α2 = - ctg α1 = -1 / tg α1, или окончательно

Пример 1. Найти угол между прямыми, заданными уравне­ниями У = 2X - 5 и У = -3X + 4.

Решение. Подставляя в формулу (3.12) значения K1 = 2 и K2 = -3, имеем

Откуда получаем, что один из углов равен φ = π / 4.

3. Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая за­дана уравнением общего вида (3.10). Тогда расстояние D От произвольной точки М0(X0, Y0) до прямой (рис. 3.11) дается формулой

Рис. 3.11

< Предыдущая		Следующая >