02. Логические связки высказываний

Определение. Отрицанием высказывания называется высказывание , которое истинно тогда и только тогда, когда высказывание ложно.

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний и называется высказывание , истинное тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно.

Определение. Конъюнкцией двух высказываний и называется высказывание , истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Для обозначения конъюнкции используется также символ «&».

Определение. Импликацией двух высказываний и называется высказывание , ложное тогда и только тогда, когда высказывание истинно, а – ложно.

Высказывание называется посылкой импликации, а высказывание – её следствием.

Определение. Эквиваленцией двух высказываний и называется высказывание , истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения высказываний и совпадают.

В табл. 1 приведены истинностные значения результатов логических операций, определяющиеся через истинностные значения составляющих их высказываний в соответствии с определениями.

Таблица 1

Истинностные значения результатов логических операций

А	В
И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	–	И	Л	Л	Л
Л	И	И	И	Л	И	Л
Л	Л	-	Л	Л	И	И

В табл. 2 представлены правила прочтения и толкование логичес­ких связок высказываний.

Таблица 2

Основные логические связки высказываний

Название операции	Обозначение	Прочтение	Толкование
Отрицание А		Не А	Неверно, что А
Дизъюнкция А И В		А или В	Или А, Или В, Или А Одновременно с В
Конъюнкция А И В		А и В	А Одновременно с В
Импликация А И В		Если А, то В	Из А Следует В, В необходимо для А, А Достаточно для В
Эквиваленция А И В		А тогда и только тогда, когда В	А Эквивалентно В, А Необходимо и Достаточно для В

Например, Для простых высказываний А={Иван изучает физику} и B={Иван изучает математику} составные высказывания с использованием операций, представленных в табл. 2, формулируются следующим образом:

={ Неверно, что Иван изучает физику};

={ Иван изучает физику или математику};

={ Иван изучает физику и математику};

={Если Иван изучает физику, то он изучает математику};

={Иван изучает физику тогда и только тогда, когда он изучает математику}.

При формировании составных высказываний можно применять логические операции конечное число раз. Такие составные высказывания называются Формулами алгебры высказываний.

Например, – формула алгебры высказываний.

Для упрощения записи формул устанавливается следующий порядок выполнения логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Задачи и упражнения

1.6. В заданных составных высказываниях выделите составляющие их простые высказывания и определите используемую логическую операцию:

1) число 10 чётное и простое;

2) если число 8 делится на 3, то оно чётное;

3) число 38 делится на 2 тогда и только тогда, когда 5=10;

4) число 11 меньше 3 или 13;

5) число 5 не является решением уравнения .

1.7. В сложном высказывании выделите элементарные высказывания и, введя обозначения, запишите сложное высказывание в виде формулы:

«Число делится на 11, если сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, или отличается от неё на 11».

1.8. По заданным простым высказываниям A и B сформулируйте составные высказывания: , , , , , , , , , . Установите их истинностные значения.

1) A={сегодня суббота}, B={сегодня пятница}.

2) A={2 меньше 3}, B={5 больше или равно 7}.

3) A={сегодня идет дождь}, B={сегодня идет снег}.

1.9. Выделите в следующих составных высказываниях необходимое и достаточное условия:

1) если сегодня студент выполнит домашнее задание по дискретной математике, то в январе на экзамене по дискретной математике он получит пятёрку;

2) натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

< Предыдущая		Следующая >