1.2.4. Примеры решения задач по теме «Определители»
Задача 1.
Вычислить определитель
.
Указание
Воспользуйтесь либо правилом треугольников, либо разложением определителя по 2-й строке или 2-му столбцу, содержащим нулевой элемент.
1-й способ (правило треугольников).
Вычислим определитель 3-го порядка, используя его определение:
Δ = 2·0·(-1) + (-3)·(-4)·2 + 5·1·1 - 2·0·5 -1·(-4)·2 – (-1)·1·(-3) =
= 0 + 24 + 5 – 0 + 8 – 3 = 34.
2-й способ (разложение по строке).
Применим свойство определителя:
.
Для удобства вычисления выберем 2-ю строку, содержащую нулевой элемент (А22 = 0), поскольку при этом нет необходимости находить А22, так как произведение А22 А22 = 0. Итак,
(напомним, что определитель второго порядка, входящий в алгебраическое дополнение Aij, получается вычеркиванием из исходного определителя I-й строки и J-го столбца).
Тогда Δ = А21 А21 + А23 А23 = 1·2 + (-4)(-8) = 34.
Ответ: Δ = 34.
Задача 2.
Используя свойства определителя, вычислить определитель
.
Указание
Вычитая из 2-й и 3-й строк определителя соответствующие элементы 1-й строки, добьемся того, что в 1-м столбце останется только один ненулевой элемент. Далее можно разложить определитель по 1-му столбцу.
Поскольку все элементы первого столбца равны 1, вычтем из 2-й и 3-й строк определителя соответствующие элементы 1-й строки (при этом величина определителя не изменится – свойство 6):
.
Заметим, что теперь все элементы 2-й строки кратны двум, а элементы 3-й строки кратны трем. По следствию 2.2 соответствующие множители можно вынести за знак определителя:
.
Вычтем из элементов 3-й строки полученного определителя соответствующие элементы 2-й строки:
И разложим определитель по 1-му столбцу:
Ответ: Δ = 6.
|
Разумеется, можно было вычислять этот определитель непосредственно (например, по правилу треугольников), но использование свойств определителей позволило существенно сократить и упростить численные расчеты. |
Задача 3.
Используя свойства определителей, вычислить определитель
.
Указание
Прибавьте к элементам 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтите удвоенные элементы 1-й строки. Затем вынесите за знак определителя все общие множители элементов какой-либо строки или столбца.
Решение
Прибавим к элементам 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:
Вынесем за знак определителя множитель -1 из 2-й строки и 3 – из 3-й:
Теперь из 3-го столбца вынесем множитель -2:
Вычтем из элементов 2-го столбца элементы 3-го столбца и разложим полученный определитель по 3-й строке:
Ответ: Δ = 306.
Задача 4.
Решить уравнение
Указание
Разложив определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке, и приравняв его 40, вы получите квадратное уравнение для Х.
Решение
Разложим определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке. Предварительно найдем соответствующие алгебраические дополнения:
Тогда
И требуется решить квадратное уравнение
.
Ответ: 
Задача 5.
Решить неравенство
Указание
Раскройте определитель, стоящий в левой части неравенства, по 1-й строке.
Решение
Раскроем определитель, стоящий в левой части неравенства, по 1-й строке:
3(10 - 12) – X(2X – 9) + 4X – 15 > - 3;
-2X2 + 13X – 18 > 0;
2X2 – 13X + 18 < 0;
2 < X < 4,5.
Ответ: (2; 4,5).
Задача 6.
Используя свойства определителей (не раскрывая определитель), вычислить определитель
Указание
Используйте тригонометрическую формулу cos 2A = cos2A - sin2A и свойство определителя с двумя равными столбцами.
Решение
Из тригонометрии известно, что cos 2A = cos2A - sin2A. Вычтем из элементов
2-го столбца определителя соответствующие элементы 1-го столбца:
У полученного определителя, равного исходному (свойство 6), два столбца одинаковы, поэтому он равен нулю (следствие 2.1).
Ответ: 0.
Задача 7.
Вычислить определитель 4-го порядка
.
Указание
Преобразуйте определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуйтесь свойством 6.
Решение
Преобразуем определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуемся свойством 6. Его особенно удобно применять, если в определителе существует элемент, равный +1. Выберем в качестве такого элемента А13 = 1 и с его помощью обратим все остальные элементы 3-го столбца в нуль. С этой целью:
А) к элементам 2-й строки прибавим соответствующие элементы 1-й строки;
Б) из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, умноженные на 2;
В) из элементов 4-й строки вычтем элементы 1-й строки
(напомним, что при этом величина определителя не изменится). Тогда
Разложим полученный определитель по 3-му столбцу:
Вычтем из элементов 1-й строки нового определителя удвоенные элементы 2-й строки:
И разложим этот определитель по 1-й строке:
Ответ: Δ = -9.
Задача 8.
Вычислить определитель 4-го порядка
Указание
Разложите определитель по 1-й строке, а затем полученный определитель 3-го порядка вновь разложите по 1-й строке.
Решение
Разложим определитель по 1-й строке:
Полученный определитель 3-го порядка вновь разложим по 1-й строке:
Ответ: Δ = 24.
|
Обратите внимание: если в определителе все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то определитель равен произведению элементов, Стоящих на главной диагонали. |
Ответ: Δ = 24.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
