14. Формула Маклорена

Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.

Формулой Маклорена Называется формула Тейлора при а = 0:

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т. к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой - либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Однако, выбор числа А очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке А, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки А для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

Т. е. чем больше по модулю значение разности (Х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

Кроме того, можно показать, что остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой функцией при х®а, причем долее высокого порядка, чем (х – а)m, т. е.

.

Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

< Предыдущая		Следующая >