Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Краткий курс лекций по дифференциальному исчислению 3.1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. Понятие непрерывности функции. Свойства непрерывных функций

3.1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. Понятие непрерывности функции. Свойства непрерывных функций

PDF Печать E-mail

Определение 1. Функция называется Непрерывной в точке , если она определена в точке и существует предел .

Теорема 1. Для того чтобы функция имела конечный предел в точке необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывной в этой точке.

Необходимость. Пусть , тогда имеем . Полагая имеем , т. е. , следовательно, функция непрерывна.

Достаточность. Пусть . Тогда, полагая , получим , т. е. .

Замечание. По определению в точке функция не является непрерывной.

Определение 2. Функция называется Непрерывной слева (Справа) в точке , если

.

Теорема 2. Для того чтобы функция была непрерывной в точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

.

Пример. Функция

Непрерывна в точке , т. к.

Имеют место равенства .

Свойства непрерывных функций аналогичные свойствам пределов функций. Следует только значения пределов и функций и в точке заменить значениями и . Доказательства этих свойств проводится аналогично как для пределов функций.

Формы записи непрерывности:

1. По определению

2. По Гейне

3. По Коши

4. В терминах приращений

Последнее определение следует из первого

,

Где - называется Приращением функции в точке , - Приращением аргумента в точке .

Теорема 3. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках определения этих функций.

В качестве примера рассмотрим только две элементарные функции. Так, функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки , т. к. имеем

.

Функция непрерывна на всей числовой оси, т. к. имеем

.

Аналогично доказывается непрерывность остальных элемен-тарных функций.

 
Яндекс.Метрика
Наверх