Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. (А.А. Ельцов) 50. Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений

50. Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений

PDF Печать E-mail

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение (5.24)

.

Пусть - фундаментальная система решений, а - общее решение соответствующего однородного уравнения . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (5.24) в виде

. (5.34)

Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна

. (5.35)

При вычислении второй производной в правой части (5.35) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной - восемь слагаемых и так далее. Так как при подстановке решения (5.34) в уравнение (5.24) получается одно соотношение на неизвестных функций, то остальные находятся в нашей власти. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (5.35) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна

. (5.36)

По тем же, что и раньше, соображениям, в (5.36) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, - я производная равна

. (5.37)

Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем

. (5.38)

Второе слагаемое в (5.38) равно нулю, так как функции являются решениями соответствующего однородного уравнения . Объединяя (5.38) с полученными при вычислении производных условиями, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций

(5.39)

Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (5.39). Найдя его, получим функции а, следовательно, и . Подставляя эти значения в (5.34), получаем решение линейного неоднородного уравнения.

Для , то есть для уравнения второго порядка, система уравнений (5.39) приобретает вид

А для система (5.39) записывается в виде

Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Примеры

1. Найдём общее решение уравнения . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Корни его характеристического уравнения равны и . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций и . Решение неоднородного уравнения ищем в виде . Для нахождения производных составляем систему уравнений (5.39)

Решая которую, находим , . Интегрируя полученные функции, имеем , . Подставляя и в выражение для , окончательно находим .

2. Найдём общее решение уравнения . Пример отличается от предыдущего лишь правой частью. Поэтому изменяется лишь система уравнений для нахождения производных , приобретающая вид

Решая эту систему, находим , . Отсюда, интегрируя, имеем , . Подставляя и в выражение для , окончательно находим .

3. Найдём общее решение уравнения . Корни характеристического полинома соответствующего однородного уравнения равны , , . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций , , Решение неоднородного уравнения ищем в виде . Для нахождения производных составляем систему уравнений (5.39)

Решая эту систему, находим , , . Интегрируя полученные функции, имеем , , . Подставляя , , в выражение для окончательно находим .

 
Яндекс.Метрика
Наверх