50. Метод вариации произвольных постоянных решения линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение (5.24)

Пусть - фундаментальная система решений, а - общее решение соответствующего однородного уравнения . Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (5.24) в виде

. (5.34)

Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна

. (5.35)

При вычислении второй производной в правой части (5.35) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной - восемь слагаемых и так далее. Так как при подстановке решения (5.34) в уравнение (5.24) получается одно соотношение на неизвестных функций, то остальные находятся в нашей власти. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (5.35) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна

. (5.36)

По тем же, что и раньше, соображениям, в (5.36) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, - я производная равна

. (5.37)

Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем

. (5.38)

Второе слагаемое в (5.38) равно нулю, так как функции являются решениями соответствующего однородного уравнения . Объединяя (5.38) с полученными при вычислении производных условиями, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций

(5.39)

Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (5.39). Найдя его, получим функции а, следовательно, и . Подставляя эти значения в (5.34), получаем решение линейного неоднородного уравнения.

Для , то есть для уравнения второго порядка, система уравнений (5.39) приобретает вид

А для система (5.39) записывается в виде

Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

Примеры

1. Найдём общее решение уравнения . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение . Корни его характеристического уравнения равны и . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций и . Решение неоднородного уравнения ищем в виде . Для нахождения производных составляем систему уравнений (5.39)

Решая которую, находим , . Интегрируя полученные функции, имеем , . Подставляя и в выражение для , окончательно находим .

2. Найдём общее решение уравнения . Пример отличается от предыдущего лишь правой частью. Поэтому изменяется лишь система уравнений для нахождения производных , приобретающая вид

Решая эту систему, находим , . Отсюда, интегрируя, имеем , . Подставляя и в выражение для , окончательно находим .

3. Найдём общее решение уравнения . Корни характеристического полинома соответствующего однородного уравнения равны , , . Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций , , Решение неоднородного уравнения ищем в виде . Для нахождения производных составляем систему уравнений (5.39)