Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. (А.А. Ельцов) 45. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

45. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши (5.3), (5.7) для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение уравнения , удовлетворяющее условию . Пусть - решение поставленной задачи Коши. Подставив это решение в уравнение (5.3), получим тождество . Интегрируя это тождество по , получаем

,

Или, что то же самое,

. (5.16)

Таким образом, мы показали, что всякое решение задачи Коши (5.3), (5.7) есть решение интегрального уравнения (5.16). С другой стороны, если - дифференцируемое решение интегрального уравнения (5.16), то, дифференцируя (5.16) по , получаем, что - решение задачи Коши (5.3), (5.7).

Решение интегрального уравнения (5.16) будем искать с помощью метода последовательных приближений. Положим

. (5.17)

Оператор , отображающий метрическое пространство в себя, называют сжимающим , если , где -расстояние в , .

Сжимающие операторы имеют неподвижную точку, то есть точку, которая оператором переводится в себя. Если линейное уравнение удаётся записать в виде в котором оператор - сжимающий, то решение этого линейного уравнения можно найти с помощью последовательных приближений , которые сходятся к решению уравнения .

Таким образом, если оператор

- (5.18)

Сжимающий [12], то последовательные приближения (5.17) сходятся к решению интегрального уравнения (5.16), а, следовательно, и дифференциального уравнения , удовлетворяющему условию . Желающие могут познакомиться с доказательством сжимаемости оператора (5.18) в [12].

Пример. Найдём с помощью метода последовательных приближений решение уравнения , удовлетворяющее условию . Подставляя в (5.17), получаем

…,

С другой стороны, решая исходную задачу Коши, имеем .

Таким образом, нами получено разложение функции в ряд Тейлора в нуле (ряд Маклорена).

Перейдём теперь к изложению численного метода Эйлера решения задачи Коши (5.3), (5.7). Разобьём отрезок , на котором мы ищем решение, на части точками . Положим . Так как по определению производной то, заменяя производную

Конечной разностью в уравнении (5.3), получаем , или, что то же самое,

. (5.19)

Соотношение (5.19) является расчётной формулой метода Эйлера численного решения задачи Коши (5.3), (5.7). Вычислив получим таблицу значений решения в точках . Для оценки погрешности на одном шаге сетки в методе Эйлера разложим точное решение По формуле Тейлора в окрестности точки До членов второго порядка малости

.

Сравнивая с (5.19) видим, что погрешность формулы (5.19) на одном шаге равна . К сожалению, метод Эйлера накапливает ошибку от шага к шагу. Поэтому на практике пользуются либо модификациями метода Эйлера, например, методом прогноза и коррекции [14], либо другими методами, в частности методом Рунге-Кутта [14].

 
Яндекс.Метрика
Наверх