Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

40. Однородные уравнения

PDF Печать E-mail

Если уравнение (5.3) удается преобразовать к виду , то это уравнение называется однородным. Можно показать, что уравнение в дифференциальной форме является однородным тогда и только тогда, когда функции И однородные функции одной и той же степени. Напомним, что функция называется однородной степени , если для неё выполнено соотношение

Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой , или, что то же самое, , где новая искомая функция. Действительно, тогда и исходное уравнение может быть переписано в виде , или . Из последнего при можем записать . Заметим, что в случае исходное уравнение уже является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение . Это однородное уравнение, так как и однородные функции второй степени. Делаем замену . Подставляя в уравнение, имеем

0.

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на , получаем уравнение с разделяющимися переменными

Разделяя переменные, получаем или, что то же самое, Интегрируя последнее соотношение, имеем . Потенцируя (переходя от логарифмической функции к ), можем записать или, делая обратную замену , получаем . При сокращении на мы потеряли решение , которое в найденное решение не входит. Кроме того, мы могли потерять решения при делении на . Случай даёт решение , входящее в найденное при . Случай даёт решение , которое не входит в найденное.

Уравнения вида приводятся к однородным переносом начала координат в точку пересечения прямых если определитель отличен от нуля. Если этот определитель равен нулю, то замена Приводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Задание 5.2.

Решить уравнения:

1. ; 2. ;

3. .

Ответы: 1. ;

2. ; 3. .

 
Яндекс.Метрика
Наверх