Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам.

logo

Решение контрольных по математике!!!

Связаться с нами

E-mail: matica@narod.ru

ICQ 229036787, ICQ 320619

 

Home Методички по математике Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. (А.А. Ельцов) 17. Приложения определённого интеграл. Вычисление площадей плоских фигур

17. Приложения определённого интеграл. Вычисление площадей плоских фигур

PDF Печать E-mail

Пусть для Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми Разобьём отрезок на части точками , выберем внутри каждого элементарного отрезка по точке . Заменим криволинейную трапецию, ограниченную линиями , прямоугольником . Площадь этого прямоугольника равна и, если - непрерывная функция, то при достаточно малом близка площади заменяемой трапеции. Просуммировав, получим, с одной стороны, приближенное значение площади криволинейной трапеции, с другой стороны, интегральную сумму для интеграла . Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, получаем площадь исходной криволинейной трапеции

Назовём трапецию простейшей областью, если она ограничена кривыми , и для всех выполнено неравенство . Нетрудно видеть, что для простейшей области

Аналогично, если для всех , то для криволинейной трапеции, ограниченной кривыми (простейшей области второго типа), имеем

В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных выше типов.

Примеры

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и . Эти кривые пересекаются в точках и . Поэтому

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и . Эти кривые пересекаются в точках и . В данном случае лучше рассматривать простейшую область второго типа. Поэтому

3. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , , . В данном случае

.

 
Яндекс.Метрика
Наверх