99. Линейные операторы

Рекомендуемая литература

13. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1984.

14. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

15. Воеводин В. В. Линейная алгебра.. М.: Наука 1980.

16. Сборник задач по для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А. В., Демидовича Б. П.. М.: Наука, 1981.

17. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.

18. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

Линейные операторы

2. Определение линейного оператора и его свойства. Матрица линейного оператора. Пусть V - векторное пространство над полем P.

Определение 1. Линейным оператором A в векторном пространстве V называется отображение A векторного пространства V в V обладающее свойствам:

(1) (" A, B € L) A(A + B) = Aa + Ab;

(2) (" A € L) (" a € R) A(aA) =a( AA).

Свойство 1. Линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой вектор: A0 = 0.

Свойство 2. Линейный оператор переводит противоположный вектор в соответствующий противоположный вектор: A(-A) =- AA.

Свойство 3. Линейный оператор переводит линейную комбинацию векторов в соответствующую линейную комбинацию образов этих векторов: A(a1A1 + a2A2 + …+aKAK ) = a1 AA1 + a2 AA2 + …+aK AAK.

Свойство 4. Линейный оператор переводит линейно-зависимую систему векторов в линейно-зависимую систему векторов.

Матрица линейного оператора. Пусть v =(V1, V2, …, VN) - базис векторного пространства V, A - линейный оператор в векторном пространстве V. Разложим образы Av1, AV2, …, AVK векторов базиса по векторам того же базиса:

Av1 = A11 u1 + A21 u2 + ... + Am1 uM , Av2 = A12 u1 + A22 u2 + ... + Am2 uM ,. . ., AvN = A1N u1 + A2N u2 + ... + Amn uM .

Определение 2. Матрицей линейного оператора A в Данном базисе называется матрица

А = ,

Столбцы которой есть координатные строки образов базисных векторов векторного пространства V, Выраженные через тот же базис.

Лемма 1. Пусть V1, V2, ..., VN Базис векторного пространства V, A1, A2, ..., aN - Произвольная система векторов из U. Тогда существует линейный оператор A векторного пространства V, При котором AV1 = A1, AV2 = A2, ..., AVN = AN.

Теорема 1. Пусть V - векторное пространство над полем Р размерности N. При выбранном базисе Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством линейных операторов V множеством МN(P) матриц порядка N С элементами из поля Р.

Пусть А = V(X1, X2, ..., XN) T . Тогда AA = VAJ (X1, X2, ..., XN) T . Отсюда получаем следующие формулы преобразования координат:

,

Где AA = V (X¢1, X¢2, ..., X¢N) координатный столбец вектора AA В данном базисе.

< Предыдущая