97. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональный и ортонормированный базис

Определение 1. Два вектора A и B из E Называются ортогональными, Если их скалярное произведение равно нулю.

Определение 2. Система ненулевых векторов B1, B2, ..., BM называется Ортогональной системой векторов, если различные векторы этой системы попарно ортогональны: BIBJ = 0 (I, J = 1, 2,…, M; I ≠ J).

Теорема 1. Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть A1, A2 , ..., AK - Ортогональная система ненулевых векторов из V. Доказывая линейную независимость системы A1, A2 , ..., AK допустим, что выполняется равенство:

A1A1+ a2A2 +...+ aKAK = 0.

Скалярно умножим обе части этого равенства на AI , I = 1, 2, ...,K, получим в силу свойств 1, 2

A1(A1AI) + a2(A2AI) +...+ aI(AIAI) + ... + aK(AKAI) = 0.

В силу ортогональности системы отсюда находим aI(AIAI) = 0 . Так как AI ≠ 0 и скалярное произведение невырожденное, то AIAI ≠ 0. Таким образом

AI = 0 для всех I = 1, 2, ...,K. Таким образом система векторов A1, A2 , ..., AK линейно независима. 

Теорема 2. Для любой линейно независимой системы векторов A1, A2, ..., AM существует ортогональная система векторов B1, B2, ..., BM таких, что каждый вектор BJ (J = 1, 2,…, M) линейная комбинация векторов BJ (J = 1, 2,…, J).

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по K. При K =1 вторая система состоит из одного вектора B1 ≠ 0 и поэтому ортогональна. Предположим, что теорема справедлива для K-1 векторов A1, A2 , ..., AK-1, т. е. и поэтим векторам найдена ортогональная система ненулевых векторов B1, B2 , ..., BK-1 с указанными выше свойствами. Докажем утверждение для K векторов. Для этого ищем вектор BK в виде:

BK = b1B1 + b2B2 +...+ bK-1BK-1 + AK , (2)

Где значения коэффициентов b1 , b2 ,... , bK-1 находим из условия ортогональности BK векторам B1, B2 , ..., BK-1:

BKBI = 0 , i = 1, 2, ...,K -1,

Которое можно записать в виде

B1(B1BI) + b2(B2BI) +...+ bI(BIBI) +...+ bK-1(BK-1BI) + AKBI = 0.

Так как по предположению BJBI = 0 при всех I = 1, 2, ...,K -1, I ≠ J, то находим

BI(BIBI) + AKBI = 0.

Так как BI ≠ 0, То BI bI ≠ 0 и

BI = (-AKBI )/(BIBI), I = 1, 2, ...,K -1. (3)

При таком выборе коэффициентов aI вектор BK ортогонален векторам B1, B2 , ..., BK-1 и полученная ситема векторов B1, B2 , ..., BK ортогональна.

Выразим вектор BK через вектора A1, A2 , ..., AK:

BK = b1A1 + b2(a21B1 + A2) + b3(a31A1 + a32A2 + A3) + ... +bK-1(aK-11A1 + ak-12A2 +...+ ak-1k-2AK-2 + AK-1)+ AK =

= (b1+ b2a21 + b3a31 + ... +bK-1aK-11)A1 + (b2 + b3a32 + ... + bK-1ak-12 )A2 +...+ (bK-2 + bK-1ak-1k-2)AK-2 + bK-1AK-1+ AK =

= aK1A1 + ak2A2 +...+ aKk-1AK-1 + AK,

Где aK1 , ak2 , ..., aKk-1 € Р. Вектор BK ≠ 0. Действительно, если BK = 0, то

AK1A1 + ak2A2 +...+ aKk-1AK-1 + AK = 0 .

Отсюда следует, что система A1, A2 , ..., AK линейно зависима, а это противоречит условию.

Определение 3. Базис пространства En называется Ортогональным, если он образует ортогональную систему векторов.

Определение 4. Ортогональный базис E1, E2, ..., EN называется Ортонормированным, если все его векторы единичную длину.

Теорема 4. Любое N-мерное евклидово пространство обладает ортогональным базисом.

Теорема 5. Любое N-мерное евклидово пространство обладает ортонормированным базисом.

Теорема 6. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений соответствующих координат

Определение 7. Вектор A евклидова пространства называется Нормированным, если его длина равна единице, т. е. |A| =1.

Определение 8. Ортогональный базис евклидова пространства En называется Ортонормированным, если все вектора базиса нормированные, т. е. базис Е1, E2, ..., еN ортонормированный, если выполняются условия:

1° ЕI×EJ = 0, I, J = 1, 2, ...,N, I ≠ J;

2° ЕI×EI = 1, I = 1, 2, ...,N.

Теорема 7. Любое конечномерное евклидово пространство Еn обладает ортонормированным базисом.

Доказательство. Скалярное произведение в евклидовом пространстве невырожденное. Поэтому по следствю теоремы 2 Еn Обладает ортогональным базисом B1, B2 , ..., BN . Тогда легко показать, что система векторов

Е1 = , E2 = , ..., еN =

- линейно независима. Она образует ортонормированный базис Еn. Действительно,

ЕI×EJ =,

Если I, J = 1, 2, ...,N, I ≠ J;

ЕI×EI =,

I = 1, 2, ...,N. 

Пример 1. Ортогонализовать систему векторов A1 = (1, 0, 0) , A2 = =(-1,1, 0), A3 = (4, -2, 2) (скалярное произведение определено в примере 1). Пусть B1 = (1, 0, 0).

По формуле (2) B2 = b1B1+ A2, где коэффициент b1 находим по формуле (3): b1= (-A2B1)/(B1B1) = -(-1)/1 = 1. Тогда B2 = B1+ A2= (0, 1, 0).

По формуле (2) b3 = b1B1 + b2B2 + A3 , где коэффициенты b1 , b2 находим по формуле (3): b1= (-A3B1)/(B1B1) = -4/1 = -4. b2= (-A3B2)/(B2B2) = -(-2)/1 = = 2. Тогда B2 = -4B1 + 2B2 + A3= (0, 0, 2).

И ищем V2 = (-1, 1, 0), V3 = (4, -2, 2) линейно независима и образует базис пространства R3

Ортогональная система векторов A1 = (1,0,0), A2 = (0,1,0), A3 = (0,0,2).

< Предыдущая		Следующая >